Garis Atas Amplop Dinamis dalam pesawat

Ada algoritma yang mudah untuk menghitung amplop atas dari susunan garis di pesawat. Lihat misalnya bagian 2.3 dalam survei, urutan Davenport-Schinzel dan aplikasi geometriknya .

Adakah algoritma / struktur data yang diketahui untuk versi dinamis dari masalah yang sama? Artinya, kami ingin mempertahankan amplop atas dari serangkaian garis di pesawat di bawah operasi berikut:

• insert ): menambahkan baris ke set$(\ell$$\ell$
• delete : menghapus baris dari set$(\ell)$$\ell$
• query : mengembalikan garis dengan koordinat di amplop atas. Dengan kata lain, kembalikan garis dalam himpunan yang pertama kali dipukul oleh sinar ke bawah vertikal dari titik .$(x)$$x$$(x, \infty)$

"seseorang" benar. Makalah Timothy Chan "Dynamic Planar Convex Hull Operations di Near-Logarithmic Amortized Time" muncul untuk menyelesaikan masalah dengan penyisipan / penghapusan mengambil waktu diamortisasi , dan kueri mengambil waktu. Dia memecahkan masalah Anda yang merupakan masalah ganda untuk cembung lambung.O ( log n $O(\log ^{1+\epsilon}n)$ $O(\log n)$

Struktur data yang saya cari disebut tumpukan parametrik . Yaitu, tumpukan di mana setiap kunci adalah fungsi linier (garis) dan bukan kunci tetap. The query(x)operasi yang dijelaskan di atas bersesuaian dengan find-min(x)operasi dalam tumpukan parametrik. Ada struktur data terkait, yang disebut tumpukan kinetik , yang merupakan tumpukan parametrik di mana parameter, waktu, hanya bergerak maju. Dengan kata lain, setelah kami memiliki find-min( ) permintaan, kami diizinkan untuk bertanya ( t 2 ) hanya jika t 2 ≥ t 1 .$t_1$find-min$t_2$$t_2 \geq t_1$

Seperti yang diamati oleh "seseorang", masalah tumpukan parametrik dapat direduksi menjadi hull planar dinamis melalui dualitas titik-garis.

Sebagian besar makalah yang memecahkan masalah ini menggunakan struktur data "penghapusan hanya" semi-dinamis, dan kemudian menggunakan teknik dinamika Bentley dan Saxe untuk mengubah struktur data mereka untuk juga mendukung penyisipan. ( JL Bentley dan JB Saxe, masalah pencarian terurai I:. Static-to-dinamis transformasi ) Lihat juga J catatan kuliah FFE ini$\epsilon$ untuk gambaran tentang bagaimana jenis karya transformasi.

Hasil klasik di daerah ini adalah karena Overmars dan van Leeuwen, Pemeliharaan konfigurasi di pesawat , yang mencapai waktu query dan (kasus terburuk) waktu update. Jika kami ingin menerapkan solusi untuk masalah ini, ini adalah versi untuk digunakan.O ( log 2 n $O(\log n)$$O(\log^2 n)$

Namun, kemudian ada beberapa perbaikan teoritis untuk hasil klasik. Di FOCS 99, kertas Chan

• Operasi lambung cembung planar dinamis dalam waktu diamortisasi mendekati logaritmik

memberikan struktur data dengan waktu diamortisasi untuk pembaruan.$O(\log^{1+\epsilon} n)$

Kemudian, penulis berikut (secara mandiri) meningkatkan batas waktu menjadi untuk penghapusan dan untuk penyisipan.O ( log n log log log n $O(\log n \log \log n)$$O(\log n \log \log \log n)$

• Brodal dan Jacob Dynamic Planar Convex Hull di FOCS 2002

• Kaplan, Tarjan, dan Tsioutsiouliklis Tumpukan Kinetic Lebih Cepat dan Penggunaannya dalam Penjadwalan Siaran di SODA 2001

  Semua kutipan di atas mendukung find-minkueri dalam waktu .$O(\log n)$

Baru-baru ini, Brodal dan Jacob telah semakin meningkatkan hasilnya untuk mendukung pembaruan dalam waktu diamortisasi . Hasilnya cukup rumit, dan saya hanya dapat menemukan versi lengkap dari makalah mereka dalam bentuk draft , namun hasilnya juga dirinci dalam Ph.D. Disertasi .$O(\log n)$

Baru-baru ini, Chan memberikan hasil lain yang terkait dengan kueri cangkang planar dinamis, termasuk "Struktur data yang sepenuhnya dinamis untuk mempertahankan satu set n poin di pesawat sehingga kita dapat menemukan tepi lambung cembung memotong garis kueri".

Pada RAM kata, Demaine dan Pătraşcu menunjukkan bahwa waktu kueri optimal adalah , dan tergantung pada jenis kueri (nol atau satu dimensi vs dua dimensi), berikan waktu pembaruan dari atau .O ( log n log log n ) O ( log 2 n $\Theta(\log n / \log \log n)$$O(\log n \log \log n)$$O(\log^2 n)$