Kesan saya adalah, pada umumnya, aljabar tradisional agak terlalu spesifik untuk digunakan dalam Ilmu Komputer. Jadi Ilmuwan Komputer menggunakan struktur yang lebih lemah (dan karenanya lebih umum), atau menggeneralisasi struktur tradisional sehingga mereka dapat menyesuaikannya dengan kebutuhan mereka. Kami juga menggunakan kategori teori banyak, yang oleh ahli matematika tidak dianggap sebagai bagian dari aljabar, tetapi kami tidak melihat mengapa tidak. Kami menemukan resimentasi matematika tradisional menjadi "aljabar" dan "topologi" sebagai cabang terpisah yang tidak nyaman, bahkan tidak ada gunanya, karena aljabar umumnya orde pertama sedangkan topologi memiliki peluang untuk berurusan dengan aspek tingkat tinggi. Jadi, struktur yang digunakan dalam Ilmu Komputer memiliki aljabar dan topologi bercampur. Bahkan, saya akan mengatakan mereka cenderung lebih ke arah topologi daripada aljabar. Regimentasi penalaran menjadi "aljabar" dan "logika" adalah pembagian tak berguna dari sudut pandang kami, karena aljabar berkaitan dengan sifat-sifat persamaan sedangkan logika juga berhubungan dengan semua jenis sifat lainnya.
Kembali ke pertanyaan Anda, semigroup dan monoids digunakan cukup intens dalam teori automata. Eilenberg telah menulis koleksi 2 volume , yang kedua hampir seluruhnya merupakan aljabar. Saya diberitahu bahwa ia merencanakan empat volume tetapi usianya tidak memungkinkan proyek untuk diselesaikan. Jean-Eric Pin memiliki versi modern dari banyak konten ini dalam buku online . Automata adalah "modul monoid" (juga disebut tindakan monoid atau "tindakan"), yang berada pada tingkat yang tepat untuk Ilmu Komputer. Modul dering tradisional mungkin terlalu spesifik.
Teori kisi adalah kekuatan utama dalam pengembangan semantik denotasional. Topologi dicampur menjadi teori kisi ketika Ilmuwan Komputer, bersama-sama dengan matematikawan, mengembangkan kisi - kisi berkelanjutan dan kemudian menggeneralisasikannya ke domain . Saya akan mengatakan bahwa teori domain adalah matematika Ilmuwan Komputer sendiri, yang matematika tradisional tidak memiliki pengetahuan tentang.
Aljabar universal digunakan untuk menentukan spesifikasi aljabar tipe data . Setelah sampai di sana, Ilmuwan Komputer segera menemukan kebutuhan untuk berurusan dengan sifat-sifat yang lebih umum: persamaan kondisional (juga disebut klausa tanduk persamaan) dan sifat logika orde pertama, masih menggunakan ide yang sama dari aljabar universal. Seperti yang akan Anda perhatikan, aljabar sekarang bergabung ke dalam teori model.
Teori kategori adalah dasar untuk teori tipe. Sebagai Ilmuwan Komputer terus menciptakan struktur baru untuk menghadapi berbagai fenomena komputasi, teori kategori adalah kerangka kerja yang sangat nyaman untuk menempatkan semua ide ini. Kami juga menggunakan struktur yang diaktifkan oleh teori kategori, yang tidak memiliki keberadaan dalam matematika "tradisional", seperti kategori functor. Juga, aljabar kembali ke gambar dari sudut pandang kategoris dalam penggunaan monad dan teori efek aljabar . Coalgebras , yang merupakan dual dari algebras, juga menemukan banyak aplikasi.
Jadi, ada banyak aplikasi "aljabar" dalam Ilmu Komputer, tetapi itu bukan jenis aljabar yang ditemukan dalam buku teks aljabar tradisional.
Catatan tambahan : Ada pengertian konkret di mana teori kategori adalah aljabar. Monoid adalah struktur mendasar dalam aljabar. Ini terdiri dari operator "multiplikasi" biner yang asosiatif dan memiliki identitas. Teori kategori generalisasi ini dengan mengasosiasikan "jenis" untuk unsur-unsur monoid itu, . Anda dapat "berkembang biak" elemen hanya ketika jenis cocok: jika dan kemudian . Sebagai contoh, matriks memiliki operasi multiplikasi menjadikannya monoid. Namun, matriks (di mana dana:X→Ya:X→Yb:Y→Zab:X→Zn×nm×nmnbisa berbeda) membentuk suatu kategori. Karenanya monoids adalah kasus khusus dari kategori yang memiliki tipe tunggal. Dering adalah kasus khusus dari kategori aditif yang memiliki tipe tunggal. Modul adalah kasus khusus dari fungsi-fungsi di mana kategori sumber dan target memiliki tipe tunggal. Sebagainya. Teori kategori adalah aljabar yang diketik yang tipenya membuatnya jauh lebih dapat diterapkan daripada aljabar tradisional.