Algoritma optimal untuk menemukan ketebalan grafik tipis?

14

Saya bertanya-tanya bagaimana menemukan ketebalan grafik tidak berarah jarang. Maksud saya jarang . Maksud saya adalah kompleksitas waktu terendah. $|E|=O(|V|)$

Saya memikirkan beberapa modifikasi pada algoritma Tarjan untuk grafik tidak berarah, tetapi saya tidak menemukan hasil yang baik. Sebenarnya saya berpikir bahwa jika saya dapat menemukan 2 komponen yang terhubung di , maka saya dapat menemukan ketebalannya, dengan semacam induksi yang dapat dicapai dari bagian pertama. Saya mungkin berada di jalur yang salah. Algoritma apa pun asimtotik lebih baik dari (yaitu ) diterima. $O(|V|)$ $\Theta(|V|^2)$ $o(|V|^2)$

ds.algorithms graph-theory open-problem

— Saeed
sumber

1

Virginia Vassilevska Williams dan Ryan Williams memiliki makalah yang menunjukkan bahwa temuan ketebalan dalam grafik umum setara dengan APSP di bawah transformasi subkubis. Saya tidak tahu apakah hubungannya berlaku untuk grafik sparse, tetapi itu berarti bahwa membuat subquadratic mungkin sulit. Saya akan membiarkan salah satu dari mereka memposting detailnya :)

— Suresh Venkat

salin di Ilmu Komputer .

— Kaveh

Kami tidak langsung meninggalkan komentar pada entri FAQ, jika Anda memiliki saran, Anda dapat memulai meta-diskusi atau memposting di sini .

— Kaveh

24

Inilah yang saya ketahui tentang masalah ketebalan dalam grafik tidak tertimbang yang tidak diarahkan. Pertama-tama, jika ketebalannya genap, Anda dapat menentukannya dalam waktu - ini adalah hasil lama dari Itai dan Rodeh (A. Itai dan M. Rodeh. Menemukan rangkaian minimum dalam grafik. SIAM J Computing, 7 (4): 413–423, 1978.). Idenya ada: untuk setiap simpul dalam grafik, mulai BFS sampai siklus pertama ditutup (kemudian berhenti dan pindah ke simpul berikutnya); kembalikan siklus terpendek yang ditemukan. Jika lingkar bahkan siklus terpendek ditemukan akan menjadi siklus terpendek. Khususnya jika grafik Anda adalah bipartit, ini akan selalu menghitung ketebalannya. Namun, jika ketebalan aneh, Anda akan menemukan siklus panjang atau $O(n^2)$ $g$ $g$ , jadi Anda mungkin libur . $g+1$ $1$

Sekarang, masalah sebenarnya dengan ketebalan aneh adalah bahwa mau tidak mau algoritma Anda harus dapat mendeteksi jika grafik memiliki segitiga. Algoritma terbaik untuk itu menggunakan perkalian matriks: min { waktu untuk grafik pada node dan edge. Itai dan Rodeh juga menunjukkan bahwa algoritma apa pun yang dapat menemukan segitiga dalam grafik padat juga dapat menghitung ketebalannya, jadi kami memiliki algoritma ketebalan waktu . Namun, runtime untuk ketebalan dalam grafik jarang tidak sebagus untuk menemukan segitiga. Yang terbaik yang kita tahu secara umum adalah $O($ $n^{2.38}, m^{1.41})$ $n$ $m$ $O(n^{2.38})$ . Secara khusus, apa yang tampaknya paling sulit adalah menemukanalgoritma waktu untuk grafik dengan . $O(mn)$ $o(n^2)$ $m=O(n)$

$2$ $n^{1+1/k}$ $2k$ . Jadi semakin padat grafiknya, semakin mudah untuk menemukan perkiraan yang baik untuk ketebalannya. Ketika grafik sangat jarang, ketebalannya bisa jadi besar secara sewenang-wenang.

— virgi
sumber

5

luar biasa! Saya berharap ahli akan muncul :)

— Suresh Venkat

O (m^{1.41})

$O(m^{1.41})$

2

O (m^{1.41})

$O(m^{1.41})$

Ada algoritma O (nm) berbasis BFS sederhana dan umum yang saya kaget tidak ada yang disebutkan: webcourse.cs.technion.ac.il/234247/Winter2003-2004/ho/WCFiles/…

— Labo

5

Menemukan ketebalan grafik planar memiliki sejarah yang menarik. Lihat makalah ini oleh Chang dan Lu untuk algoritma waktu linier dan sejarah perbaikan.

Tidak ada teknik umum untuk menemukan ketebalan dari setiap grafik jarang. Seringkali kita harus melihat dekomposisi khusus yang terkait atau embeddings untuk mencapai batas yang lebih baik. Jika grafik "terbukti" jarang, seringkali ada struktur bagus yang terkait dengannya. Sebagai contoh, grafik treewidth terikat terbatas dan mereka memiliki dekomposisi pohon terkait.

Mendesain a $o(n^2)$ Algoritma untuk grafik jarang umum adalah masalah terbuka.

— Siwa Kintali
sumber

Makalah planar tampaknya menarik, terima kasih.

— Saeed