VC-dimensi bola dalam 3 dimensi

Saya mencari dimensi VC dari sistem set berikut.

Universe sedemikian rupa sehingga U ⊆ R 3 . Dalam sistem himpunan R, setiap himpunan S ∈ R berkorespondensi dengan sphere dalam R 3 sehingga himpunan S mengandung elemen dalam U jika dan hanya jika sphere yang sesuai berisinya dalam R 3 .$U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$$U\subseteq \mathbb{R}^3$$\mathcal{R}$$S\in \mathcal{R}$$\mathbb{R}^3$$S$$U$$\mathbb{R}^3$

Detail yang sudah saya tahu.

1. Dimensi VC adalah minimal 4. Ini karena jika adalah 4 sudut tetrahedron maka dapat dihancurkan oleh $p_1,p_2,p_3,p_4$$\mathcal{R}$

2. Dimensi VC paling atas 5. Ini karena sistem yang ditetapkan dapat tertanam di dengan bola di R 3 sesuai dengan hyperplanes di R 4 . Hal ini diketahui bahwa hyperplanes di R d memiliki VC-dimensi d + 1 .$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^3$$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^d$$d+1$

Ini argumen yang mudah:

Asumsikan ada set dari 5 poin yang dapat dihancurkan oleh bola. Jadi untuk set setiap S ⊆ U , terdapat bola B st B ∩ U = S dan bola B ' st B ' ∩ U = U ∖ S . Oleh karena itu, B ∩ B ' tidak mengandung poin dari U . Jika B ∩ B ′ = ∅ , B dan B $U$$S \subseteq U$$B$$B \cap U = S$$B'$$B' \cap U = U \setminus S$$B \cap B'$$U$$B \cap B' = \emptyset$$B$$B'$dapat dipisahkan oleh pesawat. Kalau tidak, persimpangan permukaan dan B ′ adalah lingkaran. Pesawat di mana kebohongan lingkaran memisahkan S dari U ∖ S . Oleh karena itu, U dapat hancur oleh halfspaces, kontradiksi.$B$$B'$$S$$U \setminus S$$U$

Argumen yang sama di dimensi yang lebih tinggi menunjukkan bahwa dimensi VC bola sama dengan dimensi VC ruang setengah.

Solusi saya salah. Lihat jawaban lain ...