Bukti yang lebih intuitif dari teorema Zone?

Teorema Zone mengatakan bahwa jika kita menusuk susunan garis n dengan garis lain, kompleksitas total zonanya , himpunan semua wajah 0, 1, dan 2 yang bersebelahan dengannya adalah O (n). Konstanta yang sebenarnya adalah kira-kira 6n setidaknya seperti yang dinyatakan dalam berbagai buku teks, dan buktinya adalah dengan induksi dengan argumen pengisian yang cukup hati-hati.

Saya ditanya pertanyaan ini di kelas, dan tidak punya jawaban:

Apakah ada bukti alternatif, lebih intuitif dari teorema Zone?

Sekarang saya menyadari bahwa banyak orang menemukan induksi cukup intuitif dan akan tersinggung oleh implikasi saya, dan bersedia mengubah di atas menjadi hanya "pengganti" bagi mereka. Tetapi apakah ada bukti seperti itu? Atau bahkan bukti dari buku itu ?

Ini bukan pembersih, tetapi ini adalah persiapan yang baik untuk hal-hal yang lebih maju, dan ini adalah contoh yang bagus dari abstraksi ...

Seseorang dapat menggunakan argumen sekuens Davenport-Schinzel. Pertimbangkan wilayah di atas garis zona Anda. Setiap garis menjadi sinar, dan sebenarnya dua sinar, karena kita menganggap sisi kiri dan sisi kanan berbeda. Pindai batas zona ini dari kiri ke kanan, tuliskan sinar yang Anda temui. Ini adalah urutan yang didefinisikan lebih dari simbol 2n, dan pola abab ilegal. Dengan demikian, panjang urutan paling banyak adalah 2 (2n) -1 = 4n-1. Menerapkannya ke zona di bawah garis, menyiratkan batas bentuk 8n.

Sekarang, membuktikan bahwa urutan simbol tanpa ... a..b..a..b ... sebagai simbol n berikutnya memiliki panjang 2n-1 mudah. memang, perhatikan dua penampilan berurutan dari karakter yang sama yang paling dekat satu sama lain dalam urutan ini. Jelas, di antara dua karakter ini, setiap karakter yang muncul harus unik. Pertimbangkan karakter seperti itu, dan amati bahwa jika itu muncul di tempat lain dalam string, maka kita akan mendapatkan urutan terlarang. Dengan demikian, karakter ini muncul tepat sekali dalam string. Hapus, dan hapus karakter tambahan jika diperlukan jika Anda membuat dua karakter identik berturut-turut. Yaitu, menghapus karakter dari string memendeknya 2, dengan demikian, panjang maksimum string adalah 2n-1.

Saya menemukan induksi cukup intuitif dan tersinggung oleh implikasi Anda. Tapi apa argumen pengisian daya?

Wlog menganggap garis yang mendefinisikan zona adalah horisontal (jika tidak, putar) dan garis-garis tersebut berada pada posisi umum (jika tidak mengganggu dan membuat zona lebih rumit). Hapus salah satu dari n baris lainnya. Klasifikasi tepi zona yang dihasilkan sebagai batas kiri atau kanan, tergantung pada apakah masing-masing zona berada di kanan atau kiri. (Beberapa tepi keduanya batas kiri dan kanan, tetapi mereka dihitung dua kali dalam batas kompleksitas.) Dengan hipotesis induktif, ada paling banyak 3n-3 batas kiri. (Kasing dasar n = 0 adalah sepele.) Memasukkan kembali garis yang dihapus menambah paling banyak 3 batas kiri (satu di garis itu sendiri, dan dua dari memisahkan batas kiri yang lebih tua). Dengan demikian, jumlah batas kiri paling banyak 3n. Secara simetris, jumlah batas kanan paling banyak 3n, jadi total kompleksitas zona paling banyak 6n.

Bukti dengan argumen pengisian diajukan sebagai latihan (bersama dengan petunjuk langkah demi langkah) di halaman 13 dari handout kelas geometri komputasi David Mount: http://www.cs.umd.edu/class/fall2005/cmsc754/Handouts/ cmsc754-handouts.pdf