Kompleksitas pengoptimalan atas kelompok kesatuan

Apa kompleksitas komputasi untuk mengoptimalkan berbagai fungsi di atas grup kesatuan ? $\mathcal{U}(n)$

Sebuah tugas yang khas, yang timbul sering dalam teori informasi kuantum, akan memaksimalkan kuantitas tipe (atau perintah polinomial lebih tinggi di ) atas semua kesatuan matriks . Apakah jenis pengoptimalan ini secara efisien (mungkin kira-kira) dapat dihitung, atau apakah ini NP-hard? (mungkin ini sudah diketahui, tetapi saya belum dapat menemukan referensi umum) $\mathrm{Tr}AUBU^{\dagger}$ $U$ $U$

— Marcin Kotowski
sumber

apakah Anda boleh membatasi "berbagai fungsi" menjadi "polinomial di atas kesatuan"?

— Artem Kaznatcheev

Saya tidak tahu banyak tentang bagaimana masalah ini muncul, tetapi apa yang akan menjadi analog klasik alami dari masalah ini? Apakah Anda tahu kerumitan masalah itu?

— Robin Kothari

Ada makalah yang sangat bagus oleh Roger Brockett dari 1991 yang menunjukkan bagaimana mengekspresikan pemilahan dan pemrograman linear pada dasarnya bentuk yang Anda gambarkan, tetapi di atas matriks ortogonal. Meskipun tidak disebutkan kompleksitas, tetapi kenyataan bahwa dua masalah yang sangat berbeda dapat diekspresikan dengan cara yang sama berarti bahwa Anda perlu mengetahui sesuatu tentang struktur masalah untuk membuat penentuan kompleksitas: eecs.berkeley.edu/ ~ sburden

— Suresh Venkat

@ Artem: ya, dalam praktiknya polinomial derajat rendah adalah yang paling relevan, saya pikir.

— Marcin Kotowski

Itu datang ke eigen-dekomposisi

dan

dalam contoh derajat-2 yang Anda berikan. Untuk

dan

hermitian,

kesatuan dapat digunakan untuk memaksimalkan jejak dengan memiliki eigenspaces

sejajar dengan

; kemudian cukup untuk memaksimalkan titik-produk dari urutan nilai eigennya, yang sepele jika

dan

adalah semidefinit positif (dan kasus yang dapat kita kurangi dengan menambahkan beberapa identitas untuk mengubah nilai eigen). Atau apakah Anda tertarik pada banyak kasus yang lebih umum, tidak perlu dimotivasi oleh mekanika kuantum pada sistem dimensi kecil?

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

U

$U$

U B U^{†}

$U B U^\dagger$

A

$A$

A

$A$

B

$B$

— Niel de Beaudrap

Jawaban:

Maaf saya terlambat! Dalam teori komputasi kuantum, ada banyak contoh masalah optimisasi atas kelompok kesatuan yang, secara mengejutkan (setidaknya bagi saya), dapat dipecahkan dalam waktu polinomial (klasik) dengan mengurangi pemrograman semidefinite.

Berikut adalah contoh awal: menyelesaikan masalah tambang dari tahun 2000, pada tahun 2003 Barnum, Saks, dan Szegedy menunjukkan bahwa Q (f), kompleksitas kueri kuantum dari fungsi Boolean f: {0,1} ⁿ → {0,1 }, dapat dihitung dalam polinomial waktu dalam 2 ⁿ (yaitu, ukuran tabel kebenaran f). Saya telah memikirkan hal ini tetapi tidak dapat melihat bagaimana melakukannya, karena kita perlu mengoptimalkan probabilitas keberhasilan atas semua algoritma kueri kuantum yang mungkin, masing-masing dengan set sendiri (mungkin 2 ^n- ukuran) matriks kesatuan. Barnum et al. direduksi menjadi SDP dengan mengeksploitasi "dualitas" antara matriks kesatuan dan matriks semidefinit positif, yang disebut isomorfisma Choi-Jamiolkowski. Untuk karakterisasi SDP yang lebih baru dan lebih sederhana Q (f), lihat makalah Reichardt 2010 yang menunjukkan bahwa metode musuh berbobot negatif adalah optimal.

Kasus penting lain di mana trik ini telah dieksploitasi adalah dalam sistem bukti interaktif kuantum. Meskipun tidak jelas secara intuitif, pada tahun 2000 Kitaev dan Watrous membuktikan bahwa QIP ⊆ EXP. dengan mengurangi masalah optimisasi atas matriks kesatuan ukuran eksponensial yang muncul dalam sistem bukti interaktif kuantum 3 putaran, untuk memecahkan SDP berukuran eksponensial tunggal (sekali lagi, saya pikir, menggunakan isomorfisma Choi-Jamiolkowski antara keadaan campuran dan matriks kesatuan). Terobosan QIP = PSPACE baru-baru ini datang dari menunjukkan bahwa SDP tertentu dapat kira-kira diselesaikan lebih baik, di NC (yaitu, dengan sirkuit log-depth).

Jadi, apa pun masalah pengoptimalan spesifik Anda yang melibatkan grup kesatuan, tebakan saya adalah bahwa itu dapat diselesaikan lebih cepat dari yang Anda kira - jika tidak dengan cara yang bahkan lebih sederhana, maka dengan mereduksi ke SDP!

— Scott Aaronson
sumber

Scott terkasih! Barnum, Saks, dan Szegedy tidak secara eksplisit menyebutkan isomorfisma Choi-Jamiolkowski, dan saya tidak mengerti bagaimana ini terkait dengan konstruksi mereka. Bisakah Anda jelaskan ini? Saya bertanya karena saya berusaha memahami apakah hasil yang sama mungkin terjadi untuk oracle yang salah.

— Joris

-3

Menentukan apakah dua matriks Hadamard adalah setara adalah masalah lengkap Graph Isomorphism (GI). Brendon McKay memiliki makalah tentang topik ini. Lihat BD McKay, kesetaraan Hadamard melalui grafik isomorphism, Discrete Mathematics, 27 (1979) 213-216.

— Dursun
sumber

\pm 1

$\pm 1$