Koefisien Fourier yang bebas linear


19

Sifat dasar ruang vektor adalah ruang vektor dari dimensi n - d dapat dikarakteristikkan dengan d kendala linear bebas linear - yaitu, terdapat d vektor bebas linear dengan w 1 , , w dF n 2 yang ortogonal terhadap V .VF2nndddw1,,wdF2nV

Dari perspektif Fourier, ini setara dengan mengatakan bahwa fungsi indikator dari V memiliki d koefisien Fourier yang tidak bebas secara linear . Perhatikan bahwa 1 V memiliki total koefisien Fourier 2 d bukan nol, tetapi hanya d dari mereka yang bebas linear.1VVd 1V2dd

Saya mencari versi perkiraan properti ruang vektor ini. Secara khusus, saya mencari pernyataan dalam bentuk berikut:

Biarkan berukuran 2 n - d . Kemudian, fungsi indikator 1 S memiliki paling banyak d log ( 1 / ε ) koefisien Fourier yang bebas linear yang nilai absolutnya setidaknya ε .SF2n2nd1Sdlog(1/ε) ε

Pertanyaan ini dapat dilihat dari perspektif "Struktur vs. Keacakan" - Secara intuitif, klaim seperti itu mengatakan bahwa setiap set besar dapat didekomposisi menjadi jumlah ruang vektor dan set bias kecil. Diketahui bahwa setiap fungsi dapat didekomposisi menjadi "bagian linier" yang memiliki p o l y ( 1 / ε ) koefisien Fourier besar, dan "bagian pseudorandom" yang memiliki bias kecil. . Pertanyaan saya menanyakan apakah bagian linier hanya memiliki jumlah logaritmik koefisien Fourier yang bebas linear .f:F2nF2poly(1/ε)


3
Hai Atau, bisakah Anda memberikan referensi ke klaim terakhir Anda bahwa setiap fungsi dapat didekomposisi menjadi bagian linier + bagian pseudorandom? Terima kasih!
Henry Yuen

2
Saya tidak yakin di mana itu pertama kali muncul. Ini adalah akibat langsung dari ketimpangan Parseval: Dari Parseval, Anda mendapatkan bahwa setiap fungsi Boolean memiliki paling banyak karakter yang koefisien Fouriernya memiliki nilai absolut setidaknya ε . Sekarang, ambil bagian "linear" untuk menjadi jumlah dari karakter yang terakhir (dengan koefisien yang sama), dan "bagian pseudorandom" untuk menjadi jumlah dari semua karakter lain (dengan koefisien yang sama). 1/ε2ε
Atau Meir

Jawaban:


12

Bukankah ini contoh yang berlawanan?

Misalkan menjadi mayoritas x 1 , , x 1 / ϵ 2 , yang merupakan indikator dari serangkaian ukuran 2 n / 2 , jadi d = 1 . Namun, f ( { i } ) = Θ ( ε ) untuk 1 i 1 / ε 2 , sehingga Anda memiliki 1 / ε 2f(x)x1,,x1/ϵ22n/2d=1f^({i})=Θ(ϵ)1i1/ϵ21/ϵ2 koefisien Fourier besar yang bebas linear.


Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.