Apa kasus terburuk dari algoritma triangulasi delaunay inkremental acak?

Saya tahu bahwa runtime kasus terburuk yang diharapkan dari algoritma triangulasi delaunay inkremental acak (seperti yang diberikan dalam Computational Geometry ) adalah . Ada latihan yang menyiratkan runtime kasus terburuk adalah . Saya sudah mencoba membangun contoh di mana ini sebenarnya terjadi tetapi belum berhasil sejauh ini. $\mathcal O(n \log n)$ $\Omega(n^2)$

Salah satu dari percobaan tersebut adalah mengatur dan memesan titik yang diatur sedemikian rupa sehingga, saat menambahkan titik pada langkah , tentang tepi dibuat. $p_r$ $r$ $r-1$

Pendekatan lain mungkin melibatkan struktur titik-lokasi: Cobalah untuk mengatur titik-titik sehingga jalur yang diambil dalam struktur titik-lokasi untuk menemukan titik dalam langkah adalah selama mungkin. $p_r$ $r$

Namun, saya tidak yakin yang mana dari dua pendekatan ini yang benar (jika sama sekali) dan akan senang untuk beberapa petunjuk.

— Tedil
sumber

Coba letakkan semua poin di kurva

y = x^{r}

$y = x^r$ untuk beberapa yang dipilih dengan baik

r

$r$ .

— Peter Shor

Pendekatan pertama dapat diformalkan sebagai berikut.

Membiarkan $P$ menjadi set sewenang-wenang $n$ poin pada cabang positif parabola $y=x^2$ ; itu adalah,

P = {(t_{1}, t_{1}^{2}), (t_{2}, t_{2}^{2}), \dots, (t_{n}, t_{n}^{2})}

$P = \{ (t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2), \dots, (t_n, t_n^2) \}$ untuk beberapa bilangan real positif

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

$t_1, t_2, \dots, t_n$ . Tanpa kehilangan sifat umum, anggap poin-poin ini diindeks dalam urutan yang meningkat:

0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}

$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ .

Klaim: Dalam triangulasi Delaunay $P$ , titik paling kiri $(t_1, t_1^2)$ adalah tetangga dari setiap titik lain di $P$ .

Klaim ini menyiratkan bahwa menambahkan titik baru $(t_0, t_0^2)$ untuk $P$ dengan $0 < t_0 < t_1$ menambahkan $n$ tepi baru untuk triangulasi Delaunay. Jadi, secara induktif, jika kita secara bertahap mengontrak triangulasi Delaunay $P$ dengan memasukkan titik-titik dalam urutan kanan-ke-kiri , jumlah total tepi Delaunay dibuat adalah $\Omega(n^2)$ .

Kami dapat membuktikan klaim sebagai berikut. Untuk nilai nyata apa pun $0<a<b<c$ biarkan $C(a,b,c)$ menunjukkan lingkaran unik melalui titik-titik $(a,a^2), (b,b^2), (c,c^2)$ .

Kata pengantar singkat: $C(a,b,c)$ tidak mengandung poin apa pun $(t,t^2)$ dimana $a<t<b$ atau $c<t$ .

Bukti: Ingat bahwa empat poin $(a,b), (c,d), (e,f), (g,h)$ adalah cocircular jika dan hanya jika

| \begin{matrix} 1 & a & b & a^{2} + b^{2} \\ 1 & c & d & c^{2} + d^{2} \\ 1 & e & f & e^{2} + f^{2} \\ 1 & g & h & g^{2} + h^{2} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & b & a^2 + b^2 \\ 1 & c & d & c^2 + d^2 \\ 1 & e & f & e^2 + f^2 \\ 1 & g & h & g^2 + h^2 \\ \end{vmatrix} = 0$ Jadi, sebuah poin

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ terletak di lingkaran

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ jika dan hanya jika

| \begin{matrix} 1 & a & a^{2} & a^{2} + a^{4} \\ 1 & b & b^{2} & b^{2} + b^{4} \\ 1 & c & c^{2} & c^{2} + c^{4} \\ 1 & t & t^{2} & t^{2} + t^{4} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^2 + a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^2 + b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^2 + c^4 \\ 1 & t & t^2 & t^2 + t^4 \\ \end{vmatrix} = 0$ Tidak sulit (misalnya, minta Wolfram Alpha) untuk memperluas dan memfaktorkannya

4 \times 4

$4\times4$ penentu ke dalam formulir berikut:

\begin{matrix} (*) & (a - b) (a - c) (b - c) (a - t) (b - t) (c - t) (a + b + c + t) = 0 \end{matrix}

$(a-b)(a-c)(b-c)(a-t)(b-t)(c-t)(a+b+c+t) = 0 \tag{$*$}$ Jadi,

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ terletak pada

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ jika dan hanya jika

t = a

$t=a$ ,

t = b

$t=b$ ,

t = c

$t=c$ , atau

t = - a - b - c < 0

$t=-a-b-c < 0$ . Apalagi karena

0 < a < b < c

$0<a<b<c$ , keempat akar ini berbeda, yang menyiratkan bahwa parabola sebenarnya bersilangan

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ di empat titik. Karena itu

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ terletak di dalam

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ jika dan hanya jika

- a - b - c < t < a

$-a-b-c<t<a$ atau

b < t < c

$b<t<c$ .

◻

$\qquad\Box$

— Jeffε
sumber

Terima kasih, meskipun saya sebenarnya hanya menginginkan petunjuk (tanpa bukti);)

— Tedil