Masalah NP-hard pada pohon

Beberapa masalah optimisasi yang dikenal sebagai NP-hard pada grafik umum sepele dipecahkan dalam waktu polinomial (beberapa bahkan dalam waktu linier) ketika grafik input adalah pohon. Contohnya termasuk penutup simpul minimum, set independen maksimum, isomorfisme subgraph. Sebutkan beberapa masalah optimasi alami yang tetap NP-keras pada pohon.

Anda dapat menemukan contoh masalah grafik "alami" dan "terkenal" yang sulit bahkan jika terbatas pada pohon dari referensi standar kami . Contoh:

• Integral k aliran -multicommodity ,
• Subtree tertanam yang umum ,
• Subtree umum .

(Ini diformulasikan sebagai masalah pohon, tetapi Anda dapat menggeneralisasikannya ke grafik arbitrer. Kemudian formulasi di atas diperoleh sebagai kasus khusus ketika Anda membatasi input ke pohon.)

Resep yang lebih umum untuk menghasilkan masalah yang sulit pada pohon: Ambil masalah NP-hard yang terkait dengan supersekuensinya , superstring , substring , dll. Kemudian tafsirkan ulang string sebagai grafik jalur berlabel. Kemudian ajukan pertanyaan analog untuk grafik umum (selanjutnya ≈ grafik minor, substring ≈ subgraph). Dan kita tahu bahwa masalahnya adalah NP-hard bahkan pada pohon (dan di jalur).

Ada juga banyak masalah yang sulit pada bintang berbobot, dengan reduksi dari masalah subset-sum. Contoh alami adalah:

• TSP dengan dua pelancong : diberi grafik tepi-tertimbang dan batas , dapatkah kita menemukan dua jalan tertutup dan di sehingga setiap jalan memiliki berat total paling banyak , dan setiap simpul ditutupi oleh setidaknya satu berjalan?W C 1 C 2 G W $G$$W$$C_1$$C_2$$G$$W$$G$

Sekali lagi, mudah untuk membuat variasi tema.

Ini NP-lengkap untuk menentukan apakah sebuah pohon dapat tertanam ke dalam kisi integer dua dimensi, dengan simpul pohon ditempatkan pada titik kisi yang berbeda dan tepi pohon ditempatkan pada tepi kisi.

Lihat misalnya Gregori, IPL 1989 .

Masalah Group Steiner adalah contoh yang bagus. Input untuk masalah ini adalah graf berbobot tepi yang tidak diarahkan dan k grup simpul . Tujuannya adalah untuk menemukan pohon bobot minimum yang mengandung setidaknya satu simpul dari setiap kelompok. Sangat mudah untuk melihat bahwa masalah Set Cover adalah kasus khusus bahkan ketika G adalah bintang. Jadi masalahnya sulit untuk diperkirakan dalam faktor kecuali P = NP. Selain itu, ditunjukkan oleh Halperin dan Krauthgamer bahwa masalahnya sulit untuk diperkirakan dalam faktor untuk setiap fix kecuali NP memiliki algoritma waktu kuasi polinomial acak (NP). lihat kertas untuk pernyataan yang lebih jelas). AdaS 1 , S 2 , … , S k O ( log n ) O ( log 2 - ϵ n ) ϵ > 0 O ( log 2 n $G=(V,E)$$S_1, S_2, \ldots, S_k$$O(\log n)$$O(\log^{2-\epsilon} n)$$\epsilon > 0$$O(\log^2 n)$ pendekatan pada pohon oleh Garg, Konjevod dan Ravi.

Salah satu masalah tersulit pada pohon adalah masalah bandwidth minimum. Ini adalah pada pohon dengan derajat maksimum 3. Juga NP-keras pada ulat melingkar dengan panjang rambut 1.$NP$

Referensi:

Michael R. Garey, Ronald L. Graham, David S.Johnson, dan Donald E. Knuth. Hasil kerumitan untuk meminimalkan bandwidth. SIAM J. Appl. Matematika., 34 (3): 477-495, 1978.

Burkhard Monien. Masalah minimisasi bandwidth untuk ulat dengan panjang rambut 3 adalah NP-lengkap. SIAM J. Algebraic Discrete Methods, 7 (4): 505-512, 1986.

W. Unger. Kompleksitas perkiraan masalah bandwidth. Dalam FOCS, halaman 82–91, 1998

$G$$G$$k$$S$$k$$G$

Masalah ini NP-hard (dan MAX SNP-hard) pada bintang [ 1 ].

[ 1 ] Garg, Vazirani, dan Yannakakis, Algoritma Perkiraan Primal-Dual untuk Aliran Integral dan Multicut in Trees , Algorithmica, 18 (1), hal 3-20, 1997.

Masalah petugas pemadam kebakaran telah menerima cukup banyak perhatian baru-baru ini, dan (agak mengherankan) NP-hard pada pohon dengan derajat 3 maksimum . Ini sebenarnya pertanyaan yang cukup alami, dijelaskan sebagai berikut:

$k$

Atau varian, juga NP-hard : Apakah ada strategi untuk pemadam kebakaran di mana tidak ada daun terbakar?

Masalah yang orang mungkin berpikir TIDAK akan sulit di pohon, tetapi adalah, adalah masalah pembekuan-tag dalam geometri komputasi : secara singkat, masalah penjadwalan bangun untuk robot dimulai dengan bot awake 'tunggal, di mana makespan adalah ukuran biaya.

Ini dikenal sebagai NP-keras pada grafik bintang berbobot. Namun, terbuka apakah masalahnya NP-hard di pesawat. Orang mungkin berpendapat bahwa kekerasan-NP tidak datang dari 'tree-ness', tetapi dari 'metric'-ness, tetapi grafik bintang hanya memberi Anda ruang metrik yang terbatas ..

$T$$V(T)$$k$$\phi: V(T)\to \{1,\ldots, k\}$$T$$i$$i+1$$K$$K$

$k$

Kekaisaran mewarnai adalah NP-keras untuk pohon.

$r$$s$$G$$r$$(s, r)$$s$$\text{COL}_r$$G$$s$

$s$$\text{COL}_r$$s \in \{3,\ldots, 2r − 1\}$$s$

Aliran dalam jaringan bersifat konfluen jika menggunakan paling banyak satu busur keluar pada setiap node. Kekerasan NP dalam menentukan aliran konfluen maksimum dalam pohon (diameter 4, dengan beberapa bak diijinkan) dibuktikan dalam: D. Dressler dan M. Strehler, Aliran Kapasitansi Berkapasitas: Kompleksitas dan Algoritma, LNCS 6078 (2010) 347-358 .

$TS$$T$$T_1\in TS$$T$$T_1$$T$

Masalahnya adalah NP-hard (sebenarnya, sulit untuk perkiraan) hanya ketika semua pohon input memiliki derajat tidak terbatas.

Pewarnaan yang harmonis dari grafik sederhana adalah pewarnaan simpul yang tepat sehingga setiap pasangan warna muncul paling banyak di satu sisi. Harmaticious Chromatic Number dari suatu grafik adalah jumlah warna yang paling sedikit dalam pewarnaan grafik yang harmonis. Masalah menemukan Harmonicious Chromatic Number ini terbukti NP-complete pada pohon oleh Edwards dan McDiarmid . Bahkan, mereka juga menunjukkan bahwa masalah tetap NP-lengkap untuk pohon radius 3.

$u$$u$

Perhatikan bahwa dalam masalah TSP terkait (dan lebih terkenal), tujuannya adalah untuk meminimalkan maksimum, daripada latensi rata-rata. Saya pikir TRP umumnya dianggap masalah yang lebih rumit (sebenarnya TSP dalam P untuk metrik pohon).

Kekerasan NP pada pohon ditunjukkan dalam RA Sitter "Masalah Latensi Minimum Apakah NP-Sulit untuk Pohon Tertimbang", ISCO 2002.

Motif Grafik adalah masalah NP-Complete pada pohon tingkat maksimum tiga:

Fellows, Fertin, Hermelin dan Vialette, Garis Batas Traktabilitas yang Tajam untuk Menemukan Motif yang Terhubung dalam Grafik Berwarna Vertex Catatan Kuliah di Ilmu Komputer, 2007, Volume 4596/2007, 340-351

Ada masalah (sangat umum) yang saya lihat sebagai bagian dari proyek: varian masalah ini tetap NP-hard bahkan pada grafik dengan dua simpul dan satu tepi, dan varian berbeda NP-hard pada pohon. Karena NP-hardness dari varian pertama jelas tidak berasal dari bentuk grafik, yang kedua mungkin lebih menarik.

$S$$C$$G=(V,E)$$S \subset V$$C \subset V$$S \cap C = \emptyset$$s \in S$$|s|$$F$$f \in F$$|f|$$e \in E$$t_e$$R \subseteq C \times F$$(c,f) \in R$$c$$f$

$s \in S$$A_s$$\sum_{f \in A_s} |f| \leq |s|$$P_r$$G$$r = (c,f) \in R$$c$$s$$f \in A_s$$e$$D_e$$r = (c,f) \in D_e$$P_r$$e$$\sum_{(c,f) \in D_e}|f| \leq t_e$

Jika Anda tidak memerlukan semua download akan dialihkan melainkan mencoba untuk memaksimalkan jumlah dari filesizes dari download yang sedang diarahkan Anda dapat dengan mudah mengurangi bagian-sum untuk masalah ini: Anda memiliki server tunggal dengan sejumlah besar ruang, klien tunggal yang terhubung ke server dengan keunggulan dengan kapasitas yang sama dengan nilai target instance subset-sum dan untuk setiap integer dalam instance subset-sum Anda membuat file dengan ukuran yang sama; klien kemudian ingin mengunduh semua file ini.

Varian (lebih?) Yang lebih menarik untuk pertanyaan ini adalah kasus yang Anda coba untuk meminimalkan jumlah sisi yang kapasitasnya terlampaui - mungkin jaringan yang sedang kami kerjakan memodelkan kabel internet transatlantik dan mengganti kabel sangat mahal sehingga perbedaannya dalam biaya upgrade ke faktor dua lebih cepat dan upgrade ke faktor tiga lebih cepat diabaikan. Kami juga mengatakan bahwa penempatan file di server sudah diberikan dan tidak dapat dimodifikasi, jadi kami hanya melihat masalah perutean.

$U$$S \subseteq P(U)$$u \in U$

$s \in S$$u \in s$$u$

Idenya adalah bahwa klien membutuhkan file yang unik untuk semua cluster server, sehingga ujung-ujungnya yang menghubungkan klien ke cluster server sudah pada batas kapasitasnya (kapasitasnya 1, file memiliki ukuran 1). Jika klien mengunduh elemen alam semesta dari gugus mana pun, ujung yang terhubung ke gugus itu menjadi kelebihan beban. Karena kita hanya perlu memperkecil jumlahnyakelebihan (dan bukan oleh seberapa banyak kita melebihi kapasitas), klien dapat mengunduh sisa elemen alam semesta yang dihosting di server cluster (jadi sisa elemen dari subset yang sesuai) tanpa penalti. Oleh karena itu ini sesuai dengan subset yang dipilih. Klien ingin mengunduh semua file di jagat raya sekali, sehingga jagat raya memang akan tercakup, dan untuk meminimalkan jumlah tepi yang kelebihan beban kita perlu meminimalkan jumlah himpunan bagian yang dipilih.

Perhatikan bahwa konstruksi di atas menghasilkan grafik pohon, jadi ini adalah contoh masalah NP-hard pada pohon.

Masalah Aliran yang Tidak Dapat Dicabut. Bahkan UFP sulit bahkan di satu sisi (Knapsack).

$G(V, E)$$NP$

Secara formal, masalahnya adalah:

ISOMORFISME GRAF YANG TERPASANG

$T = (V,E)$

$\{E1,E2 \}$$E$$T1 = (V,E1)$$T2 = (V,E2)$

Kolom NP-kelengkapan mengutip naskah Graham dan Robinson yang tidak diterbitkan, "faktorisasi isomorfik IX: pohon-pohon".

DS Johnson, Kolom NP-kelengkapan: panduan berkelanjutan, Journal of Algorithms 3 (1982), 288–300

Entah bagaimana saya melewatkan masalah Nomor Achromatic di jawaban terakhir, tapi ini adalah salah satu masalah paling alami yang saya tahu, yang NP-lengkap pada pohon.

Pewarnaan lengkap dari grafik adalah pewarnaan yang tepat sehingga ada keunggulan di antara setiap pasangan kelas warna. Pewarnaan dapat dinyatakan berbeda dengan Harmonious Coloring, sebagai pewarnaan yang tepat sehingga setiap pasangan warna muncul di setidaknya satu sisi. Juga, itu dapat dinyatakan sebagai homomorfisme lengkap (atau penuh) untuk sebuah klik. Masalah Achromatic Number adalah masalah maksimalisasi , di mana kami mencari jumlah kelas warna terbesar dalam pewarnaan grafik yang lengkap.

Yannakakis dan Gravil membuktikan masalah ini sebagai NP-hard pada melengkapi Grafik Bipartit . Cairnie dan Edwards memperluas hasil itu dan menunjukkan bahwa masalahnya adalah NP-complete pada pohon .

Banyak pekerjaan yang telah dilakukan pada masalah ini di bidang Algoritma Aproksimasi [ 3 , 4 , 5 ].

$n$$k$$\lceil\frac{n}{k}\rceil$

Apakah Circuit SAT di pohon NPC ?. Simpul dalam pohon diberi label sebagai gerbang OR / AND. Daun adalah input. Tentukan apakah ada rangkaian input yang memuaskan untuk dievaluasi rangkaian ke True.

$2^k - 1$