Apakah ada bukti keberadaan algoritma yang tidak konstruktif?

Saya ingat saya mungkin menemukan referensi untuk masalah yang telah terbukti dapat dipecahkan dengan kompleksitas tertentu, tetapi tanpa algoritma yang dikenal untuk benar-benar mencapai kompleksitas ini.

Saya berjuang membungkus pikiran saya di sekitar bagaimana ini bisa terjadi; bagaimana bukti non-konstruktif untuk keberadaan suatu algoritma akan terlihat seperti.

Apakah memang ada masalah seperti itu? Apakah mereka memiliki banyak nilai praktis?

Pertimbangkan fungsinya (diambil dari sini )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

Meskipun terlihat, dapat dihitung dengan argumen berikut. Antara$f$

1. terjadi untuk setiap n atau$0^n$$n$
2. ada sehingga 0 k terjadi tapi 0 k + 1 tidak.$k$$0^k$$0^{k+1}$

Kita tidak tahu yang mana (belum), tetapi kita tahu bahwa dengan$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. dan$f_\infty(n) = 1$
2. .$f_k(n) = [n \leq k]$

Karena , f dapat dihitung - tetapi kita tidak dapat mengatakan apa f .$F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

Ini mungkin tidak persis seperti yang Anda maksud, tetapi algoritma pohon rentang minimum optimal Seth Pettie dan Vijaya Ramachandran dalam beberapa hal tidak konstruktif.

Ini adalah pertanyaan terbuka apakah ada algoritma deterministik untuk menghitung pohon spanning minimum dalam waktu linier (artinya ). Pettie dan Ramachandran menjelaskan suatu algoritma yang menghitung MST dalam waktu linier jika algoritma tersebut ada .$O(n+m)$

Secara intuitif, algoritma mereka mengurangi instance -vertex dari masalah MST menjadi O ( n / k ) instance lebih kecil dengan simpul O ( k ) dalam waktu linier, di mana (katakanlah) k = O ( log log log log log log log log n ) . Kemudian mereka menghitung pohon perbandingan optimal yang menghitung pohon spanning minimum dari setiap grafik k -vertex dengan enumerasi brute force; bahkan jika ini memerlukan waktu eksponensial berlipat ganda dalam k , itu hanya $n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$ waktu. Akhirnya, mereka memecahkan contoh kecil menggunakan pohon keputusan optimal ini.$O(\log\log n)$

Dengan kata lain, Pettie dan Ramachandran membangun algoritma MST yang optimal hanya secara tidak langsung, dengan membangun sebuah algoritma yang membangun algoritma MST yang optimal.

Berikut ini dua contoh.

1. Beberapa algoritma menggunakan teorema Robertson-Seymour . Teorema menyatakan ada keluar obstruksi terbatas untuk setiap kasus, tetapi tidak memberikan cara untuk menemukan set yang terbatas. Oleh karena itu, meskipun kita dapat membuktikan bahwa algoritma itu ada, pernyataan eksplisit dari algoritma akan tergantung pada set halangan yang terbatas yang kita tidak tahu bagaimana menemukannya. Dengan kata lain, kita tahu ada algoritme, tetapi kita belum tahu bagaimana menemukannya.

2. Contoh yang lebih kuat, meskipun kurang alami pada dasarnya menggunakan PEM atau aksioma non-konstruktif serupa. Ini lebih kuat dalam arti bahwa kita dapat membuktikan keberadaan konstruktif suatu algoritma akan menyiratkan aksioma non-konstruktif (mirip dengan contoh-contoh lemah Brouwer ). Contoh seperti itu lebih kuat karena tidak hanya mengatakan bahwa kita tidak tahu sekarang algoritma eksplisit apa pun (atau cara algoritmik untuk menemukannya), tetapi juga bahwa tidak ada harapan untuk melakukannya.

   Sebagai contoh, kita dapat menggunakan PEM untuk membuktikan suatu algoritma ada sedangkan kita tidak tahu mana dan cara konstruktif untuk menemukan yang akan menyiratkan aksioma non-konstruktif. Biarkan saya memberi contoh sederhana:

   Menghentikan masalah dapat diputuskan untuk setiap mesin Turing tetap (masing-masing TM berhenti atau tidak berhenti, dan dalam setiap kasus ada TM yang mengeluarkan jawaban yang benar), tetapi bagaimana kita dapat menemukan algoritma yang memecahkan masalah dengan benar tanpa menyelesaikan ( versi seragam) masalah penghentian?

   Lebih formal, kita tidak dapat membuktikan konstruktif yang diberi TM , ada TM H T yang memutuskan masalah terputus-putus untuk M . Secara lebih formal, pernyataan berikut tidak dapat dibuktikan secara konstruktif:$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   Di sini adalah TM dengan kode e (dalam beberapa representasi tetap dari TM), { e } ↓ berarti { e } berhenti, dan { f } ↑ berarti { f } tidak berhenti.$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

Iya.

Pada satu titik di (1), grafik penghitungan kompleks teorema dikotomi homomorfisme berbobot untuk ukuran domain terbatas, Cai, Chen, dan Lu hanya membuktikan adanya pengurangan waktu polinomial antara dua masalah penghitungan melalui interpolasi polinomial. Saya tidak tahu nilai praktis apa pun untuk algoritma semacam itu.

Lihat Bagian 4 dari versi arXiv. Lemma yang dimaksud adalah Lemma 4.1, yang disebut "Lemma Pinning Pertama".

Salah satu cara untuk menjadikan pembuktian ini konstruktif adalah membuktikan versi berbobot kompleks dari hasil Lovasz , yaitu:

Untuk semua ,$G$ jika jika ada automorfisma f dari G sedemikian sehingga f ( i ) = j .$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

Di sini, adalah simpul dalam $w$$H$ , dan j adalah simpul di G , dan Z H ( G , w , i ) adalah jumlah seluruh homomorphisms grafik kompleks-tertimbang dari G ke H dengan pembatasan menambahkan bahwa saya harus dipetakan untuk w .$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Jin-Yi Cai, Xi Chen dan Pinyan Lu, Grafik Homomorfisme dengan Nilai Kompleks: A Dichotomy Theorem ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

Beberapa hasil awal dari akhir 80-an:

• Fellows and Langston, " Alat nonkonstruktif untuk membuktikan kepintaran waktu polinomial ", 1988

• Brown, Fellows, Langston, " reducibilitas waktu polinomial: motivasi teoretis dan hasil praktis ", 1989

Dari abstrak item kedua:

Namun, kemajuan mendasar baru-baru ini dalam teori grafik, telah menyediakan alat non-konstruktif baru yang kuat yang dapat diterapkan untuk menjamin keanggotaan dalam P. Alat ini tidak konstruktif pada dua tingkat berbeda: mereka tidak menghasilkan algoritme keputusan, hanya menetapkan keterbatasan set obstruksi. Mereka juga tidak mengungkapkan apakah algoritma keputusan seperti itu dapat membantu dalam membangun solusi. Kami meninjau secara singkat dan mengilustrasikan penggunaan alat-alat ini, dan membahas tugas yang tampaknya sulit untuk menemukan algoritma keputusan polinomial waktu yang dijanjikan ketika alat-alat baru ini berlaku.

Contoh keluarga masalah tak terbatas (dengan nilai praktis yang dipertanyakan) yang dapat kami tunjukkan:

1. Itu untuk setiap masalah ada algoritma untuk menyelesaikannya.
2. Bahwa tidak ada cara untuk membangun algoritma ini (secara umum).

Dengan kata lain, bukti yang terbukti tidak konstruktif. Masalah keluarga kami (dari pertanyaan ini ) untuk setiap mesin Turing :$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. $M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

Dari "Teori Bidimensionalitas dan Algoritmik Graf Catatan Teori Minor" untuk Tutorial MohammadTaghi Hajiaghayi, oleh Mareike Massow, Jens Schmidt, Daria Schymura, dan Siamak Tazari.

Setiap properti grafik minor-tertutup dapat dicirikan dengan serangkaian anak di bawah umur yang terbatas.

Sayangnya, hasilnya adalah "secara inheren" tidak konstruktif, yaitu tidak ada algoritma yang secara umum dapat menentukan anak di bawah umur mana yang akan dikecualikan untuk properti grafik minor-tertutup yang diberikan. Selain itu, jumlah anak di bawah umur yang terlarang bisa jadi tinggi: Misalnya, untuk grafik yang disematkan pada torus lebih dari 30.000 anak di bawah umur yang terlarang diketahui, namun daftarnya tidak lengkap.

[...]

Setiap properti grafik minor-tertutup dapat diputuskan dalam waktu polinomial (bahkan dalam waktu kubik).

Lemma lokal Algoritma Lovász - "lemma lokal Lovász algoritmik memberikan cara algoritmik untuk membangun objek yang mematuhi sistem kendala dengan ketergantungan terbatas ... Namun, lemma tidak konstruktif karena tidak memberikan wawasan tentang bagaimana untuk menghindari kejadian buruk. " Pada beberapa asumsi / batasan distribusi, algoritma yang dibangun diberikan oleh Moser / Tardos [1]. lemas lokal Lovasz tampaknya memiliki berbagai koneksi mendalam ke teori kompleksitas misalnya lihat [2]

[1] Bukti konstruktif dari Lemma Lokal Lovász umum oleh Moser, Tardos

[2] Lemma dan Kepuasan Lokal Lov'asz Gebauer, Moser, Scheder, Welzl