Menghitung pewarnaan kotak yang menghindari fitur tertentu

Sebuah -coloring dari m × n jaringan$k$$m \times n$ adalah fungsi . Kotak yang rusak di C adalah tuple ( i , i ′ , j , j ′ ) yang memuaskan C ( i , j ) = C ( i ′ , j ) = C $C:[m] \times [n] \to [k]$$C$$(i,i',j,j')$ - yaitu, tepat tiga sudut persegi panjang adalah warna yang sama.$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

Saya tertarik dengan pertanyaan berikut:

Sebagai fungsi , berapa banyak k -warna yang ada (untuk kisi-kisi ukuran apa pun) yang menghindari baris duplikat, kolom duplikat, dan persegi panjang yang rusak?$k$$k$

Sejauh ini saya tahu bahwa jawabannya terbatas, dan batas atas terbaik yang dapat saya buktikan adalah (lihat di bawah).$k^{(1.5 k!)^2}$

Saya juga hanya akan menunjukkan bahwa ini adalah pertanyaan yang berbeda dari yang sering dibicarakan oleh Gasarch di blog-nya (dan dalam makalah ini ). Dia ingin menghindari semua persegi panjang monokromatik, sedangkan saya tidak keberatan persegi panjang monokromatik, itu hanya yang "rusak" yang ingin saya hindari.

Apa motivasinya? Dalam kriptografi, kami mempertimbangkan masalah Alice (yang memiliki ) dan Bob (yang memiliki y ) keduanya belajar f ( x , y ) untuk fungsi yang disepakati f , sedemikian rupa sehingga mereka belajar tidak lebih dari f ( x , y ) . Anda dapat mengaitkan f secara alami dengan tabel 2 dimensi, karenanya, pewarnaan kotak. Ada penokohan untuk jenis masalah bentuk berikut (tapi dengan notasi yang berbeda): " f memiliki beberapa properti kriptografi yang menarik jika dan hanya jika $x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$berisi persegi panjang yang rusak. "Sebagai contoh, lihat Kilian91 dan BeimelMalkinMicali99 .

Jadi masalah ini muncul dalam beberapa pengaturan kriptografi yang saya selidiki. Untuk tujuan saya, itu sudah cukup untuk mengetahui bahwa ada sejumlah pewarnaan kotak yang terbatas yang menghindari persegi panjang yang rusak dan duplikat baris / kolom. Tapi saya pikir masalah kombinatorial itu sendiri menarik dan saya percaya batas yang lebih baik harus dimungkinkan.

Ikatan terbaik yang bisa saya buktikan: Tentukan dan R ( k ) = k ⋅ R ( k - 1 ) ; karenanya R ( k ) = 1,5 k ! . Pertama, orang dapat membuktikan bahwa jika C adalah pewarnaan k dengan setidaknya R ( k $R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$baris, maka ia memiliki baris duplikat atau persegi panjang yang rusak. Secara simetris, seseorang dapat menunjukkan hal yang sama sehubungan dengan kolom. (Buktinya cukup mendasar, mengikuti dari prinsip lubang # pada warna.) Dari sini, kita tahu bahwa pewarnaan yang kita pedulikan semua memiliki dimensi lebih kecil dari , dan kita bisa mendapatkan sangat longgar batas atas k R ( k ) 2 pewarna tersebut.$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

Saya rasa ini dapat ditingkatkan dengan dua cara: Pertama, saya pikir nilai optimal dari adalah 2 k - 1 + 1 . Di bawah ini adalah (rekursif didefinisikan) keluarga pewarna, di mana C k adalah k -coloring ukuran 2 k - 1 × 2 k - 1 yang menghindari fitur dilarang:$R(k)$$2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

Saya percaya ini adalah pewarnaan terbesar yang menghindari struktur terlarang ini.$k$

$R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

$k$$k$$k^{mn}$

$\ge 1-2^{-100}$