A Notion of Sirkuit Quantum Monoton

Dalam kompleksitas komputasi ada perbedaan penting antara perhitungan monoton dan umum dan teorema terkenal oleh Razborov menegaskan bahwa 3-SAT dan bahkan PENCOCOKAN tidak polinomial dalam model sirkuit Boolean monoton.

Pertanyaan saya sederhana: Apakah ada analog kuantum untuk sirkuit monoton (atau lebih dari satu)? Apakah ada teorema kuantum Razborov?

Anda benar-benar mengajukan dua pertanyaan berbeda dan berharap ada satu jawaban yang menjawab keduanya: (1) Apa pengertian alami dari rangkaian kuantum monoton yang ada? (2) Seperti apa hasil kuantum gaya Razborov berbasis kisi?

Tidak jelas bagaimana mencapai keduanya pada saat yang sama, jadi saya akan menjelaskan kepada saya apa yang tampaknya merupakan gagasan yang masuk akal tentang sirkuit kuantum monotonik (tanpa menunjukkan apakah ada atau tidak ada hasil Razborov yang sesuai), dan gagasan yang sama sekali berbeda tentang seperti apa dugaan kuantum Razborov akan terlihat (tanpa menunjukkan apakah itu kemungkinan benar).

Apa yang kita inginkan dari kuantum

Seperti yang saya katakan di komentar, saya pikir tidak perlu mencoba untuk memeras gagasan sirkuit monoton menjadi cetakan unitaritas. Apakah dalam kenyataan bahwa evolusi dengan waktu tidak perlu mempertahankan basis standar, atau dalam kenyataan bahwa ada banyak basis pengukuran di mana hasilnya dapat terjerat, saya pikir sine qua non dari perhitungan kuantum adalah fakta bahwa dasar standar bukan satu-satunya dasar. Bahkan di antara negara-negara produk, dalam beberapa implementasi hanya ditentukan oleh pilihan kerangka acuan.

Yang harus kita lakukan adalah mempertimbangkan hal-hal sedemikian rupa untuk menghilangkan basis standar dari tempat tradisionalnya yang istimewa - atau, dalam hal ini, sebanyak mungkin sambil mempertahankan gagasan monotonisitas yang bermakna.

Model sederhana dari rangkaian quantum monoton

Pertimbangkan model rangkaian yang tersirat dalam komentar Tsuyoshi Ito tentang "saluran kuantum monoton" (dan yang cukup banyak apa yang harus dilakukan jika seseorang menginginkan gagasan "sirkuit" yang tidak terbatas pada evolusi kesatuan).

Biarkan menjadi ruang operator Hermitian pada C 2 (sehingga berisi semua operator kepadatan pada satu qubit). Bagaimana kita akan mendefinisikan kuantum monoton gerbang G : H a ⊗ H b → H c dari dua masukan qubit a , b ke output qubit c , sedemikian rupa bahwa itu adalah tidak efektif gerbang monoton klasik? Saya pikir itu mudah untuk mengatakan bahwa output tidak boleh dibatasi pada | 0 $\mathbf H$$\mathbb C^2$$\mathsf G: \mathbf H_a \otimes \mathbf H_b \to \mathbf H_c$$a,b$$c$atau | 1 $|0\rangle\!\langle 0|$, atau campurannya; bu bahwa untuk menjadi "monoton", kita harus memerlukan bahwa sebagai ⟨ 1 $|1\rangle\!\langle 1|$dan ⟨1$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_a}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$peningkatan, nilai⟨1| G(ρ a b )| 1⟩harus non-menurun. Untuk gerbang dua input-qubit, ini berarti bahwaGharus dapat diterapkan pada prinsipnya sebagai$\langle 1 | \,\mathop{\mathrm{Tr}_b}\bigl(\rho_{ab}\bigr) |1\rangle$$\langle 1 | \mathsf G(\rho_{ab}) | 1 \rangle$$\mathsf G$

1. melakukan pengukuran dua-qubit sehubungan dengan beberapa basis ortonormal , di mana | μ ⟩ , | ν ⟩ span ruang bagian dari Hamming berat 1, dan$\{ |00\rangle, |\mu\rangle, |\nu\rangle, |11\rangle \}$$|\mu\rangle,|\nu\rangle$

2. memproduksi sebagai output beberapa keadaan sesuai dengan hasil yang diukur, di mana untuk setiap .$\rho \in \{ \rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11} \}$λ ∈ { μ , ν $\langle 1 | \rho_{00} | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_\lambda | 1 \rangle \leqslant \langle 1 | \rho_{11} | 1 \rangle$$\lambda \in \{ \mu, \nu \}$

Sirkuit hanya komposisi ini dengan cara yang masuk akal. Kami juga dapat mengizinkan penggeledahan, dalam bentuk rangkaian yang secara tidak sengaja menanam dan ; setidaknya kita harus mengizinkan peta ini pada input, untuk memungkinkan setiap bit input (nominal klasik) untuk disalin.| 1 ⟩ ↦ | 11 ⋯ 1 $|0\rangle \mapsto |00\cdots 0\rangle$$|1\rangle \mapsto |11\cdots 1\rangle$

Tampaknya masuk akal untuk mempertimbangkan seluruh rangkaian gerbang seperti itu, atau untuk membatasi ke beberapa koleksi gerbang semacam itu. Pilihan apa pun menimbulkan "basis gerbang monoton kuantum" yang berbeda untuk sirkuit; orang dapat mempertimbangkan properti apa yang dimiliki pangkalan monoton yang berbeda. Negara-negara dapat dipilih benar-benar independen, tunduk pada kendala monotonisitas; tidak diragukan lagi akan menarik (dan mungkin praktis untuk kesalahan terikat) untuk mengaturdan, meskipun saya tidak melihat alasan untuk meminta ini dalam teori. Jelas AND dan OR adalah gerbang dari jenis ini, di manadan ρ 00 = | 0 $\rho_{00}, \rho_\mu, \rho_\nu, \rho_{11}$ρ 11 = | 1 $\rho_{00} = |0\rangle\!\langle 0|$ρ μ = ρ ν = | 0 $\rho_{11} = |1\rangle\!\langle 1|$ρ μ = ρ ν = | 1 $\rho_\mu = \rho_\nu = |0\rangle\!\langle 0|$| μ ⟩ | v $\rho_\mu = \rho_\nu = |1\rangle\!\langle 1|$masing-masing, apa pun yang dipilih atau menjadi.$|\mu\rangle$$|\nu\rangle$

Untuk konstanta k , kita mungkin juga mempertimbangkan basis gerbang termasuk gerbang k -input-satu-output. Pendekatan paling sederhana dalam kasus ini mungkin akan memungkinkan gerbang yang dapat diimplementasikan seperti di atas, memungkinkan setiap dekomposisi dari subruang dari setiap Hamming weight , dan mengharuskan untuk setiap$\mathsf G: \mathbf H^{\otimes k} \to \mathbf H$$\mathcal V_w \leqslant \mathcal H_2^{\otimes k}$$0 \leqslant w \leqslant k$0 ⩽ w <

$$\max_{|\psi\rangle \in \mathcal V_w}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle \;\;\leqslant\;\; \min_{|\psi\rangle \in \mathcal V_{w+1}}\;\langle 1 | \,\mathsf G\Bigl( |\psi\rangle\!\langle\psi| \Bigr)\, |1\rangle$$ $0 \leqslant w < k$ . Tidak jelas berapa banyak kekuatan komputasi tambahan ini akan memberi Anda (atau bahkan dalam kasus klasik).

Saya tidak tahu apakah ada sesuatu yang menarik untuk dikatakan tentang rangkaian seperti itu di luar kasus klasik, tetapi bagi saya ini tampaknya merupakan definisi kandidat yang paling menjanjikan dari "sirkuit monoton kuantum".

Varian kuantum dari hasil Razborov

Pertimbangkan paparan oleh Tim Gowers tentang hasil Alon & Boppana (1987), Combinatorica 7 hal. 1-22 yang memperkuat hasil-hasil Razborov (dan secara eksplisit menjelaskan beberapa tekniknya) untuk kompleksitas monoton CLIQUE. Gower menyajikan ini dalam hal konstruksi rekursif dari keluarga set, memandang dari "setengah-ruang" dari kubus boolean untuk setiap . Jika kita menghapus posisi privatedged dari basis standar di set dasar, dalam analogi dengan Quantum Lovász Local Lemma , kita dapat mempertimbangkan subruang dari 1 ⩽ j ⩽ n H ⊗ n 2 n A j ⩽ H ⊗ n 2 A j = U j E

$$E_j = \Bigl\{ \mathbf x \in \{0,1\}^n \;:\; x_j = 1 \Bigr\}$$ $1 \leqslant j \leqslant n$$\mathcal H_2^{\otimes n}$untuk sesuai dengan proposisi biner (apakah suatu negara termasuk subruang, atau sebaliknya orthogonal) yang mungkin timbul dari pengukuran. Sebagai contoh, kita dapat mempertimbangkan subruang diberikan oleh Kami mengizinkan analog kuantum-logis konjungsi dan disjungsi subruang: $n$$\mathcal A_j \leqslant \mathcal H_2^{\otimes n}$A ∧ B = A ∩ B ; A ∨ B = A + B = { a + $$\begin{align*} \mathcal A_j = U_j \mathcal E_j \;, & \text{ for each $1 \leqslant j \leqslant n$} \\ \text{where } &\mathcal E_j := \Bigl\{ | \mathbf x \rangle \;:\; \mathbf x \in E_j \Bigr\} ; \\ &U_j : \mathcal H_2^{\otimes n} \to \mathcal H_2^{\otimes n} \text{ a unitary of bounded complexity}. \end{align*}$$ $$\begin{gather*} \mathcal A \wedge \mathcal B = \mathcal A \cap \mathcal B ; \\ \mathcal A \vee \mathcal B = \mathcal A + \mathcal B = \Bigl\{ \mathbf a + \mathbf b \,:\, \mathbf a \in \mathcal A\;,\; \mathbf b \in \mathcal B \Bigr\} . \end{gather*}$$ Kami kemudian bertanya berapa lama konstruksi konjungsi dan disjungsi ruang diperlukan untuk mendapatkan spasi , sehingga proyektor ke hanya sedikit berbeda dari proyektor ke ruang yang dibentang oleh fungsi indikator dari grafik yang memiliki klik ukuran ; misalnya, sehingga$C$$\Pi_C$$C$$\Pi_{K(r)}$$r$$\| \Pi_C - \Pi_{K(r)} \|_\infty <\; 1/\mathrm{poly}(n)$. Bagian monotonik terlibat dalam operasi logis kuantum, dan proposisi primitif tentang input juga kuantum.

Dalam kasus umum, ada masalah dengan memperlakukan ini sebagai masalah komputasi: disjungsi tidak sesuai dengan pengetahuan yang dapat diperoleh dengan pasti dengan pengukuran pada jumlah salinan terbatas menggunakan pengukuran kotak hitam untuk dan saja, kecuali mereka adalah gambar dari proyektor komuter. Masalah umum ini masih dapat diperlakukan sebagai hasil yang menarik tentang kompleksitas geometris-kombinatorik, dan mungkin menimbulkan hasil yang berkaitan dengan Hamiltionians lokal frustrasi. Namun, mungkin lebih alami untuk hanya mensyaratkan bahwa subruang$\mathcal A$$\mathcal B$$\mathcal A_j$muncul dari proyektor komuter, dalam hal ini disjungsi hanyalah klasik ATAU dari hasil pengukuran proyektor tersebut. Maka kita mungkin mensyaratkan bahwa kesatuan semua harus sama, dan ini menjadi masalah tentang sirkuit kesatuan (yang menimbulkan "peristiwa primitif") dengan post-processing klasik monoton (yang melakukan operasi logis pada peristiwa-peristiwa itu).$U_j$

Perhatikan juga bahwa jika kita tidak memaksakan pembatasan lebih lanjut pada spasi , itu mungkin menjadi subruang dengan tumpang tindih yang sangat tinggi dengan beberapa ruang direntang oleh status basis standar , yang merupakan string biner di mana .$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\mathbf x \in \bar E_k$$x_k = 0$

• Jika kemungkinan ini membuat Anda mual, Anda selalu dapat meminta memiliki sudut pemisahan dari setidaknya (sehingga subruang primitif kami, paling buruk, kira-kira tidak bias dari subruang di mana salah satu bit diatur ke 1).$\mathcal A_j$$\mathcal E_k^\bot$$\frac{\pi}{2} - 1/\mathrm{poly}(n)$

• Jika kita tidak memaksakan pembatasan seperti itu, bagi saya tampaknya mengakui subruang yang memiliki tumpang tindih tinggi dengan akan menjadi penghalang untuk mendekati CLIQUE (r); entah kita akan lebih atau kurang dibatasi untuk mempertimbangkan tidak adanya sisi tertentu (daripada kehadirannya), atau kita akan dipaksa untuk mengabaikan salah satu sisi sama sekali. Jadi, saya tidak melihatnya sebagai hal yang sangat penting untuk memaksakan pembatasan pada , kecuali mungkin mereka semua adalah gambar dari seperangkat proyektor komuter, jika tujuan seseorang adalah untuk mempertimbangkan bagaimana "secara monoton mengevaluasi CLIQUE dari proposisi kuantum sederhana ". Paling buruk, itu akan menjadi jumlah klasik untuk memungkinkan gerbang TIDAK di input (dan semua fan-out terjadi setelah negasi).$\mathcal E_k^\bot$$\mathcal A_j$

Sekali lagi, tidak jelas bagi saya apakah mengganti set dasar dengan subruang sewenang-wenang dari menimbulkan masalah yang lebih menarik daripada hanya menggunakan subruang ; meskipun jika kita membatasi diri pada kasus rumus CNF (baik dalam perjalanan atau non-perjalanan), hasil yang kita peroleh akan sesuai dengan beberapa gagasan tentang kerumitan seorang Hamiltonian yang bebas frustrasi yang tanah-manifoldnya terdiri dari standar dasar negara bagian yang mewakili klik.$\mathcal H_2^{\otimes n}$$\mathcal E_j$

Seperti dibuktikan oleh komentar dari Robin dan Tsuyoshi, gagasan sirkuit monoton tampaknya mudah diperluas ke sirkuit kuantum.

Untuk memiliki definisi yang bermakna dari rangkaian kuantum monoton, kita perlu memilih urutan pada keadaan kuantum sehubungan dengan mana monotonitas didefinisikan. Secara klasik, pilihan yang masuk akal (dan yang mengarah pada gagasan normal sirkuit monotonik), adalah bobot Hamming, tetapi mari kita pertimbangkan pemesanan yang diberikan oleh fungsi arbitrer .$f$

Karena evolusi sistem kuantum tertutup adalah kesatuan (yang dapat kita asumsikan diberikan oleh ), maka untuk setiap keadaan sedemikian rupa sehingga terdapat keadaan alternatif sehingga tetapi untuk yang , dan karenanya evolusi tidak monoton.$U$$|\psi\rangle$$f(U|\psi\rangle)>f(|\psi\rangle)$$|\phi\rangle$$f(|\phi\rangle) > f(|\psi\rangle)$$f(U|\psi\rangle)>f(U|\phi\rangle)$$U$

Jadi, satu-satunya sirkuit yang monotonik berkenaan dengan adalah sirkuit yang untuk semua . Dengan demikian setiap set gerbang yang monotonik berkenaan dengan terdiri dari gerbang yang bepergian dengan .f ( U | ψ ⟩ ) = f ( | ψ ⟩ ) | ψ ⟩ f $f$$f(U|\psi\rangle)=f(|\psi\rangle)$$|\psi\rangle$$f$$f$

Jelas, himpunan gerbang yang dapat memuaskan ini tergantung pada definisi . Jika konstan, maka semua set gerbang bersifat monoton sehubungan dengan itu. Namun, jika kita memilih sebagai bobot negara Hamming dalam dasar komputasi (perpanjangan yang agak alami dari digunakan dalam kasus klasik), kita mendapatkan struktur yang menarik. Pembatasan yang diberlakukan mengharuskan berat Hamming tidak berubah. Operasi yang mempertahankan jumlah ini untuk operasi diagonal atau SWAP parsial, atau kombinasi dari ini. Struktur ini cukup sering muncul dalam fisika (dalam model pengikatan ketat dll), dan mirip dengan masalah hamburan Boson yang dipelajari oleh Aaronson dan Arkhipovf f $f$$f$$f$$f$, meskipun tidak identik (ini masalah hamburan yang sedikit berbeda). Lebih lanjut itu mengandung sirkuit untuk IQP , dan karenanya tidak boleh disimulasikan secara efisien secara klasik.

Anda pada dasarnya mengajukan dua pertanyaan tentang kesulitan yang sangat beragam, di perbatasan dua bidang besar, yaitu sirkuit boolean & komputasi QM, tentang kemungkinan apa yang kadang-kadang disebut "teorema jembatan" dalam matematika:

• analog kuantum dari sirkuit monoton

• analog kuantum dari Razborovs thm

jawaban jujur ​​yang singkat adalah tidak atau tidak sejauh ini .

karena (1), bukan pertanyaan yang sulit, tetapi masih jarang dipertimbangkan, muncul referensi berikut yang dapat diambil sebagai kasus terkait dalam literatur.

Kekerasan pendekatan untuk masalah kuantum oleh Gharibian dan Kempe

mereka mempertimbangkan beberapa masalah "monoton" dalam konteks kuantum misalnya QMSA, "Quantum Monotone Minimum Satisfying Assignment, QMSA", yaitu analog SAT QM; (juga masalah lain Quantum Monoton Minimum Weight Word, QMW) dan menunjukkan beberapa hasil kekerasan perkiraan, yaitu batas bawah. mereka tidak menganggap sirkuit kuantum monoton per se tetapi sebuah gagasan bisa jadi bahwa sirkuit kuantum atau algoritma yang memecahkan fungsi monoton QMSA dapat diambil sebagai analog QM.

Adapun (2) itu akan menjadi hasil yang sangat maju jika ada yang sepertinya tidak "sejauh ini". Razborov's thm pada dasarnya adalah tipe "bottleneck" hasil batas bawah yang dianggap sebagai terobosan yang berbeda dan hasil yang nyaris tak tertandingi dalam teori sirkuit (monoton).

jadi kira-kira ya, tentu saja ada beberapa hambatan yang lebih rendah ditemukan dalam komputasi QM, misalnya terkait dengan teorema produk langsung, untuk survei lihat misalnya

Algoritma Quantum, Batas Bawah, dan Pengorbanan Ruang-Waktu oleh Spalek

Namun, bisa dibilang komputasi QM analog yang lebih baik dengan batas bawah akan menempatkan batas bawah pada jumlah operasi qubit atau mungkin didasarkan pada gerbang "lengkap" seperti gerbang Toffoli untuk fungsi monoton. Saya tidak mengetahui bukti dari jenis ini.

pendekatan lain mungkin membatasi analisis untuk gerbang kuantum AND dan OR khusus dengan bit "ancilla" tambahan yang ditambahkan untuk membuat gerbang reversibel.