Panjang tepi terpanjang dari spanner serakah pada titik-titik yang terdistribusi secara seragam di

Misalkan adalah seperangkat N poin dalam R d . Untuk setiap t ≥ 1 , t -spanner adalah grafik tak berarah G = ( P , E ) yang tertimbang di bawah ukuran Euclidian, sehingga untuk setiap dua titik v , u , jarak terpendek dalam G , d ( v , u ) , paling banyak t kali jarak Euclidian antara v dan u , | v u $P$$N$$\mathbb{R}^d$$t \geq 1$$t$$G=(P, E)$$v$$u$$G$$d(v, u)$$t$$v$$u$$|v u|$ (perhatikan bahwa definisi ini dapat dengan mudah diperluas ke ruang ukuran yang berubah-ubah).

Pertimbangkan algoritma berikut dengan dan t sebagai input:$P$$t$

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

Algoritma ini menghitung apa yang disebut spanner serakah (atau path-greedy spanner). Grafik ini telah menjadi subjek penelitian yang cukup besar: grafik ini menghasilkan kunci pas yang sangat baik, baik dalam praktik maupun dalam teori.

Saya tertarik pada panjang tepi terpanjang dalam spanner serakah jika terdistribusi secara seragam dalam [ 0 , 1 ] d (kasus di mana d = 2 juga baik-baik saja). Saya menduga panjang maksimal ini paling banyak sekitar 1 / $P$$[0,1]^d$ , berpotensi dengan beberapa faktor dan faktor logd. Dugaan ini dimotivasi oleh data eksperimen.$1 / \sqrt{N}$$d$

Alasan minat saya adalah bahwa saya memiliki algoritma yang menghitung spanner serakah dengan cepat jika panjang tepi terpanjang relatif pendek. Jika hal di atas benar, maka itu berarti algoritma saya berlaku untuk skenario di atas, dan karena itu berpotensi berguna dalam praktik.

Saya telah menemukan beberapa makalah yang menganalisis jumlah tepi dan tingkat jenis kunci pas lainnya pada pointsets yang didistribusikan secara acak, tetapi tidak ada pada panjang tepi terpanjang. Teori probabilitas yang terlibat tampak agak rumit, jadi saya berharap ada sesuatu yang diketahui sebelum mencoba bukti sendiri.

Dalam makalah kami, Distribution-Sensitive Construction of Greedy Spanner (diterima untuk ESA 2014) kami membuktikan hal berikut (menggabungkan Teorema 4 dan Lemma 6):

Ada ada bergantung hanya pada t sehingga untuk setiap c > 0 , jika P adalah satu set poin seragam dan independen didistribusikan secara acak di sebuah $c_t$$t$$c > 0$$P$ kuadrat danncukup besar, maka dengan probabilitas setidaknya1-nc, serakaht-spanner pada$\sqrt{n} \times \sqrt{n}$$n$$1 - n^c$$t$$P$ tidak memiliki tepi lebih lama dari .$c \cdot c_t \log n$

Kami terikat pada cukup besar, tapi kami memiliki bukti eksperimental yang 'benar' terikat adalah $c_t$ .$\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$