Bisakah seseorang membuktikan

Hasil 1: Teorema Linial-Mansour-Nisan mengatakan bahwa bobot empat fungsi yang dihitung oleh terkonsentrasi pada subset ukuran kecil dengan probabilitas tinggi. $\mathsf{AC}^0$

Hasil 2: The memiliki bobot lebih dari empat, terkonsentrasi pada efisien derajat . $\mathsf{PARITY}$ $n$

Pertanyaan: Apakah ada cara untuk membuktikan (jika dapat dibuktikan) tidak dapat dihitung oleh sirkuit melalui / menggunakan hasil 1 dan 2? $\mathsf{PARITY}$ $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
sumber

Bukankah ini aplikasi yang jelas dari teorema Linial-Mansour-Nisan? Bagaimana teorema LMN dibuktikan (khususnya, apakah itu dibuktikan oleh argumen probabilistik atau tidak) tidak relevan.

— Tsuyoshi Ito

pada saat yang sama, bukankah teorema Linial-Mansour-Nisan dibuktikan dengan mengasumsikan teorema Hastad? Bagiku seperti seekor anjing yang mengejar ekornya sendiri ...

— Alessandro Cosentino

Ini adalah bagaimana batas bawah pada ukuran sirkuit AC0 yang mendekati paritas diturunkan dalam catatan Ryan O'Donnell . Lihat akibat wajar 32.

— Sasho Nikolov

Saya pikir pertanyaan yang lebih menarik adalah dalam komentar Anda: adalah setiap fungsi yang spektrum empatiernya terkonsentrasi pada koefisien tingkat rendah yang dapat dihitung oleh sirkuit AC0 berukuran kecil.

— Sasho Nikolov

@ Strattav Kemudian Anda bisa mengajukan pertanyaan itu.

— Tyson Williams

Teorema LMN menunjukkan bahwa jika f adalah fungsi boolean dapat dihitung oleh sirkuit ukuran M, $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (catatan M.)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

tidak lain adalah korelasi f dengan fungsi paritas . Biarkan menjadi fraksi input mana berbeda dari . $|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

Jadi, jika M adalah , untuk sama dengan , $poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

Jadi, teorema LMN tidak hanya membuktikan bahwa tidak dapat dihitung oleh sirkuit , tetapi juga menunjukkan bahwa memiliki korelasi yang rendah dengan sirkuit . $PARITY$ $AC^{0}$ $PARITY$ $AC^{0}$

— Tulasi
sumber