Memaksimalkan fungsi submodular dari dua set dengan batasan ukuran yang berbeda

Saya memiliki dua domain yang sangat berbeda (apel dan jeruk) dan saya memiliki fungsi yang mengambil satu set objek dari domain pertama dan satu set objek dari domain kedua dan mengembalikan bilangan real. $f$

memiliki sifat menarik berikut: $f(S,T)$

memperbaiki , itu adalah non-negatif, submodular dan monoton wrt ; $T$ $S$
memperbaiki , itu adalah non-negatif, submodular dan monoton . $S$ $T$

Saya ingin memaksimalkan dengan dua batasan kardinalitas dan . $f(S,T)$ $|S| = s$ $|T| = t$

Bagaimana saya bisa melakukan itu? Jika saya mempertimbangkan ruang produk, fungsinya monoton dan submodular. Dengan demikian saya dapat menerapkan algoritma serakah standar. Berurusan dengan dua batasan ukuran yang berbeda, mungkin tidak menjadi masalah: menambahkan dan secara berurutan memungkinkan saya untuk meningkatkan tanpa bertambah . $(a, x)$ $(a, y)$ $|T|$ $|S|$

Pertanyaannya adalah apakah perkiraan masih berlaku. $1-1/e$

ds.algorithms optimization submodularity

— Francesco Bonchi
sumber

f (\emptyset, \emptyset) = f ({s}, \emptyset) = f (\emptyset, {t}) = 0

$f(\emptyset,\emptyset)=f(\{s\},\emptyset)=f(\emptyset,\{t\})=0$

f ({s}, {t}) = 1

$f(\{s\},\{t\})=1$

Terima kasih, bagus. Jadi, mari kita lupakan bagian kedua dari pertanyaan saya. Adakah gagasan tentang cara memaksimalkan fungsi seperti itu?

— Francesco Bonchi

$(V,E)$ $V=V_1 \uplus V_2$ $f(S,T)$ $S \subseteq V_1, T \subseteq V_2$ $S$ $T$ $f$ $f(S,\cdot)$ $f(\cdot,T)$ $a=b=k$ $k$ $k$

— Chandra Chekuri
sumber