Intuisi di balik sistem bukti

Saya mencoba untuk memahami makalah tentang Sistem dan Logika p-Optimal untuk PTIME . Ada gagasan yang disebut sistem bukti di koran dan saya tidak mendapatkan intinya:

... Kami mengidentifikasi masalah dengan himpunan bagian Q di Σ ∗ .$\Sigma = \{0,1\}$$Q$$\Sigma^*$

Saya pikir intinya adalah bahwa kita menyandikan struktur tertentu dalam (misalnya grafik tidak berarah) dan himpunan bagian dari struktur ini adalah masalah (misalnya grafik planar).$\Sigma^*$

Sistem bukti untuk masalah adalah fungsi surjektif P : Σ ∗ → Q dapat dihitung dalam waktu polinomial.$Q \subset \Sigma^*$$P:\Sigma^* \to Q$

Sekarang satu kemungkinan adalah mengatakan adalah himpunan semua model yang mungkin dalam struktur tertentu (misalnya semua grafik yang tidak diarahkan). Tetapi itu tidak masuk akal karena mengapa grafik yang tidak diarahkan harus dipetakan pada subset? Itu bisa dikodekan mesin turing tapi ini tidak masuk akal juga ...$\Sigma^*$

Ada ide?

Pikirkan pengkodean semacam benda, dan Q sebagai himpunan semua obyek memuaskan beberapa properti. Pikirkan P sebagai fungsi yang menerima (pengkodean) sepasang ( x , p ) di mana x adalah obyek dan p diduga "bukti" dari x ∈ Q . Fungsi P adalah "bukti checker": memverifikasi bahwa p benar-benar mewakili bukti yang sah bahwa x ∈ Q . Jika demikian, ia mengembalikan x , jika tidak maka kembali elemen default Q .$\Sigma^{*}$$Q$$P$$(x, p)$$x$$p$$x \in Q$$P$$p$$x \in Q$$x$$Q$

Sebagai contoh, misalkan mengkodekan grafik dan misalkan Q adalah himpunan (dari pengkodean) grafik Hamilton. P yang mungkin adalah ini: decode input as ( G , ℓ ) di mana G adalah grafik dan ℓ adalah daftar simpul G ; verifikasi bahwa ℓ adalah siklus Hamiltonian dalam G ; jika demikian maka kembalikan G jika tidak kembalikan grafik pada satu titik.$\Sigma^{*}$$Q$$P$$(G, \ell)$$G$$\ell$$G$$\ell$$G$$G$

Anda mempertimbangkan kasus grafik planar. Untuk mendapatkan sesuai, kita perlu gagasan tentang bukti polaritas waktu-periksa yang dapat diperiksa.$P$

Secara umum input ke tidak perlu mengkodekan pasangan ( x , p ) . Yang penting adalah bahwa P dapat mengekstrak dua potongan informasi dari input: objek tersebut dan bukti dugaan bahwa objek milik Q . Sebagai contoh, mari kita ambil sebagai Q himpunan semua kalimat yang dapat dibuktikan dalam beberapa teori orde pertama. Sekarang P menerjemahkan inputnya sebagai bukti formal. Jika encoding tidak valid, ia mengembalikan $P$$(x, p)$$P$$Q$$Q$$P$$\top$. Jika penyandian mewakili bukti yang valid, itu mengembalikan pernyataan yang dibuktikan oleh bukti (yang kemungkinan merupakan akar dari pohon bukti, atau rumus terakhir dalam urutan pernyataan, tergantung pada bagaimana Anda memformalkan bukti).

Anda harus berpikir tentang input dari sistem bukti sebagai teks bukti π elemen q ∈ Q . Jika teks yang valid yang P ( π ) = q , jika P ( π ) adalah beberapa tetap q 0 ∈ Q . Kami ingin P menjadi polytime karena itu berarti buktinya mudah diverifikasi.$P$$\pi$$q \in Q$$P(\pi) = q$$P(\pi)$$q_0 \in Q$$P$

Sebagai contoh, misalkan adalah himpunan tautologi proposisional, dan P adalah sistem bukti gaya Hilbert, yang terdiri dari sekumpulan garis , yang masing-masing merupakan aksioma atau mengikuti dari garis sebelumnya melalui aturan derivasi (biasanya Modus Ponens). Jika buktinya valid, P harus menampilkan baris terakhir dalam buktinya. Jika tidak, hasilkan beberapa tautologi tetap seperti p ∨ ¬ p .$Q$$P$$P$$p \lor \lnot p$

Kembali ke pertanyaan pertama Anda, adalah penyandian semua struktur dari jenis tertentu yang memuaskan beberapa properti. Salah satu contohnya adalah tautologi. Contoh lain adalah himpunan semua grafik non-3-warna, yang memiliki sistem bukti yang dikenal sebagai kalkulus Hajós.$Q$