Apakah ada masalah alami pada naturals yang lengkap dengan NP?

30

Setiap bilangan alami dapat dianggap sebagai urutan bit, jadi memasukkan bilangan alami sama dengan memasukkan urutan 0-1, sehingga masalah NP-lengkap dengan input alami jelas ada. Tetapi apakah ada masalah alami, yaitu masalah yang tidak menggunakan beberapa pengkodean dan interpretasi khusus dari digit? Misalnya "Is na prime?" adalah masalah alami, tetapi ini dalam P. Atau "Siapa yang memenangkan permainan Nim dengan tumpukan ukuran 3, 5, n, n?" adalah masalah lain yang saya anggap alami, tetapi kita juga tahu ini berada di P. Saya juga tertarik pada kelas kompleksitas lain, bukan NP.

Pembaruan: Seperti yang ditunjukkan oleh Emil Jeřábek, diberi untuk menentukan apakah memiliki solusi atas naturals adalah NP-complete. Inilah yang saya pikirkan sebagai sesuatu yang alami, kecuali bahwa di sini inputnya adalah tiga angka, bukan hanya satu. $a,b,c\in \mathbb N,$ $ax^2+by-c=0$

Pembaruan 2: Dan setelah lebih dari empat tahun menunggu, Dan Brumleve telah memberikan solusi "lebih baik" - perhatikan bahwa itu masih belum lengkap karena pengurangan secara acak.

— domotorp
sumber

1

Saya tahu masalah ubin lengkap NEXP di mana input adalah bilangan bulat n dan masalahnya adalah untuk menentukan apakah ada ubin yang valid dari grid nxn. Jika itu menarik bagimu, aku akan mencari kertasnya.

— Robin Kothari

2

@ Emil: komentar domotorp adalah jawaban atas kebingungan yang saya alami. Tapi itu kesalahpahaman di pihak saya, jadi saya menghapus komentar. Saya pikir input diperlukan untuk menjadi bilangan alami tunggal, yang seharusnya tidak mengkodekan apa pun.

— Robin Kothari

8

@domotorp: Masalah NP-lengkap saya maksudkan adalah, mengingat , menentukan apakah memiliki solusi . Varian lain adalah, diberikan , tentukan apakah ada sedemikian rupa sehingga

. (Hasilnya adalah dari dx.doi.org/10.1145/800113.803627 .)

a, b, c \in N

$a,b,c\in\mathbb N$

a x^{2} + b y - c = 0

$ax^2+by-c=0$

x, y \in N

$x,y\in\mathbb N$

a, b, c

$a,b,c$

x \leq c

$x\le c$

x^{2} \equiv a (\mod b)

$x^2\equiv a\pmod b$

— Emil Jeřábek mendukung Monica

3

Mengapa jawaban untuk pertanyaan ini jelas TIDAK ? Setiap masalah NP-hard memiliki instance yang "menyandikan" sirkuit boolean; bisa dibilang, itulah artinya NP-hard!

— Jeffε

2

@domotorp: mungkin kandidat "alami" yang bagus adalah masalah menemukan rantai penambahan minimum dari satu nomor : dari Jumlah Rantai Penambahan Minimal : "... Masalah menemukan rantai penambahan minimal untuk satu set dari angka adalah NP-lengkap. ini tidak berarti karena kadang-kadang mengklaim bahwa menemukan rantai Selain minimal untuk adalah NP-lengkap. Namun, kita dapat dengan mudah menyimpulkan bahwa masalah menemukan semua grup Selain minimal untuk nomor adalah Lengkap NP ... "

n

$n$

m

$m$

n

$n$

n

$n$

— Marzio De Biasi

17

Masalah ini memiliki variasi dengan input integer tunggal:

Apakah memiliki pembagi secara ketat di antara dua faktor utama terbesarnya? $n$

Idenya adalah untuk menggunakan pengurangan acak yang sama dari jumlah bagian yang dijelaskan dalam jawaban teratas untuk pertanyaan terkait, tetapi dengan kisaran target yang dikodekan sebagai dua bilangan prima terbesar alih-alih diberikan secara terpisah. Definisi tersebut memiliki tampilan alami meskipun itu hanya fungsi berpasangan yang menyamar.

Berikut adalah variasi lain dari masalah yang sama, dengan pengurangan yang sama dari masalah partisi:

Apakah produk dari dua bilangan bulat yang berbeda kurang dari ? $n$ $n^{\frac{1}{4}}$

Dalam kedua pengurangan tersebut kami "menyamarkan" serangkaian bilangan bulat dengan menemukan bilangan prima terdekat dan mengambil produk mereka. Jika mungkin untuk melakukan itu dalam waktu polinomial maka masalah ini selesai NP.

Saya pikir itu mencerahkan untuk melihat contoh-contoh ini bersama dengan teorema Mahaney : jika dan kita dapat menemukan bilangan prima terdekat, maka set ini tidak jarang. Sangat memuaskan untuk mendapatkan pernyataan aritmatika murni dari teori kompleksitas (meskipun itu hanya dugaan dan kemungkinan mudah dibuktikan dengan cara lain). $P \ne NP$

— Dan Brumleve
sumber

apa yang Anda maksud dengan 'jika P ≠ NP dan kami dapat menemukan bilangan prima terdekat'?

— T ....

1

@ao., lihat jawaban Peter Shor yang menjelaskan reduksi. Untuk itu menjadi NP-complete kita harus dapat menemukan utama dengan dalam waktu . Saya akan mencoba memberikan akun saya sendiri tentang semua ini di sini nanti.

p

$p$

| p - n | < n^{a}

$\vert p - n \vert \lt n^a$

O ((\log n)^{k})

$O((\log{n})^k)$

— Dan Brumleve

Perangkat mana yang tidak padat?

— T ....

33

Berdasarkan diskusi, saya akan memposting ulang ini sebagai jawaban.

Sebagaimana dibuktikan oleh Manders dan Adleman , masalah berikut ini adalah NP-complete: diberikan bilangan asli , tentukan apakah ada bilangan alami sehingga . $a,b,c$ $x\le c$ $x^2\equiv a\pmod b$

Masalah dapat dipersamakan dinyatakan sebagai berikut: diberikan , menentukan apakah kuadrat memiliki solusi . $b,c\in\mathbb N$ $x^2+by-c=0$ $x,y\in\mathbb N$

(Makalah asli menyatakan masalah dengan , tetapi tidak sulit untuk melihat bahwa seseorang dapat menguranginya ke kasing ) $ax^2+by-c$ $a=1$

— Emil Jeřábek mendukung Monica
sumber

10

Berikut adalah lengkap dengan satu bilangan asli sebagai input. $\text{NEXP}$

Masalahnya adalah tentang memasang kisi-kisi dengan set tetap ubin dan batasan pada ubin yang berdekatan dan ubin pada batas. Semua ini adalah bagian dari spesifikasi masalah; itu bukan bagian dari input. Inputnya hanya angka . Masalahnya adalah -complete untuk beberapa pilihan aturan ubin seperti yang ditunjukkan pada $n \times n$ $n$ $\text{NEXP}$

D. Gottesman, S. Irani, "Kompleksitas Quantum dan Klasik dari Permasalahan Penerjemahan yang Berbeda dan Masalah Hamiltonian," Proc. 50 Tahunan Symp. tentang Yayasan Ilmu Komputer, 95-104 (2009), DOI: 10.1109 / FOCS.2009.22 . Juga arXiv: 0905.2419 .

Masalahnya didefinisikan pada halaman 5 dari versi arxiv.

Selain itu, mereka juga mendefinisikan masalah serupa yaitu -complete, yang merupakan analog quantum error-terikat dari . (Analog kesalahan terikat klasik adalah .) $\text{QMA}_\text{EXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{MA}_\text{EXP}$

— Robin Kothari
sumber

3

+1, tetapi agak sulit untuk menyatakan bahwa angka digunakan dengan cara "alami", karena ia mengkodekan input ke mesin Turing tertentu (khususnya, ubin ada jika mesin Turing menerima , di mana adalah yang ke- dalam enumerasi string input potensial). Masih hasil yang sangat menarik.

n

$n$

x

$x$

x

$x$

n

$n$

— mjqxxxx

Saya setuju maksimal dengan mjqxxxx.

— domotorp

2

Saya pikir bahwa menggunakan salah satu varian kompleksitas Kolmogorov yang terikat waktu, Anda dapat membangun masalah yang hanya menggunakan representasi biner dari sebuah angka dan (saya pikir) tidak mungkin berada di ; secara tidak resmi itu adalah versi masalah yang dapat ditentukan "Apakah kompresibel?": $\mathsf{P}$ $n$

Masalah: Diberikan , apakah mesin Turing ada sedemikian rupa sehingga dan pada kaset kosong menghasilkan dalam kurang dari langkah, di mana adalah panjang representasi biner dari $n$ $M$ $|M| < l$ $M$ $n$ $l^2$ $l = \lceil \log{n} \rceil$ $n$

Jelas dalam , karena diberikan dan , hanya mensimulasikan untuk langkah dan jika berhenti membandingkan hasilnya dengan . $\mathsf{NP}$ $n$ $M$ $M$ $l^2$ $n$

— Marzio De Biasi
sumber

Saya pikir masalah ini cukup berdasarkan TM tetapi tentu saja tidak mungkin untuk menarik garis.

— domotorp

Untuk memperbaiki komentar domotorp, saya akan mengatakan bahwa fakta bahwa ia harus memunculkan gagasan tentang mesin Turing sama sekali dalam deskripsi masalah mengesampingkannya sebagai 'masalah alami tentang bilangan alami'. (Jika kita mengandaikan bahwa suatu masalah ntaural tentang bilangan asli adalah yang format umumnya akan konsisten, misalnya dengan Fermat yang telah mempelajarinya, tanpa mengandaikan sejarah matematika yang terlalu kontrafaktual.)

— Niel de Beaudrap

2

Makalah FOCS'17 kami pada Aritmatika Presburger Pendek adalah contoh masalah "alami" yaitu NP-c, dan menggunakan bilangan bulat konstan dalam input, katakanlah . Berbeda dengan Manders-Adleman dalam hal semua hambatannya adalah ketidaksetaraan. Lihat posting blog Gil Kalai untuk beberapa latar belakang. $C$ $C< 220$

— Igor Pak
sumber

Saya pikir ini lebih alami daripada Manders-Adleman. Apakah lebih kecil dari variabel dan contoh ketidaksetaraan mungkin?

5

$5$

10

$10$

— T ....

Tidak, 5 variabel adalah yang terkecil. 10 - tidak yakin. Tetapi Anda tidak dapat benar-benar memiliki kurang dari 6 ...

— Igor Pak

Apakah ada alasan di balik dan ? Maksudku adalah itu terbukti bahwa semua dan jumlah terbatas ketidaksetaraan dalam (juga semua variabel dan ketidaksetaraan formulasi yaitu di ?)?

\geq 5

$\geq5$

\geq 6

$\geq6$

\leq 4

$\leq4$

P

$P$

\leq 5

$\leq5$

\leq 5

$\leq5$

P

$P$

— T ....

Iya nih. Untuk variabel yang lebih sedikit, masalahnya ada di P.

— Igor Pak

2

Iya nih. Semuanya ada di koran kami dan tesis Danny Nguyen. math.ucla.edu/~pak/papers/Nguyen-thesis.pdf

— Igor Pak

1

Bagaimana dengan masalah PARTISI ?

— Kevin A. Wortman
sumber

3

Tidak, karena inputnya bukan angka melainkan satu set.

— domotorp

1

Jadi, apakah Anda meminta masalah yang contohnya persis satu nomor alami? Saya tidak berpikir itu jelas dalam pertanyaan Anda, ketika Anda meminta "masalah dengan input alami" dan contoh Anda tentang permainan Nim melibatkan empat angka.

— Kevin A. Wortman

Saya minta maaf jika saya tidak jelas dalam perumusan pertanyaan.

— domotorp