Apa konsekuensi dari

46

Kita tahu bahwa $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$ dan $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq$ $\mathsf{polyL}$ , di mana $\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ . Kita juga tahu bahwa $\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}$ karena yang terakhir memiliki masalah lengkap di bawah ruang reduksi banyak-satu sementara logaritmik tidak (karena teorema hierarki ruang). Dalam rangka untuk memahami hubungan antara $\mathsf{polyL}$ dan $\mathsf{P}$ , mungkin membantu untuk pertama memahami hubungan antara $\mathsf{L}^2$ dan $\mathsf{P}$ .

Apa konsekuensi dari $\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}$ ?

Bagaimana dengan kuat $\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}$ untuk $k>2$ , atau lemah $\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ untuk $\epsilon > 0$ ?

— argentpepper
sumber

4

@OrMeir Saya baru-baru ini menambahkan penjelasan tentang fakta ini ke artikel Wikipedia untuk polyL .

— argentpepper

13

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

L \neq P

$L \neq P$

.

L ⊊ L^{2}

$L \subsetneq L^2$

— Sajin Koroth

12

Pertanyaan rapi! Saya pikir itu pasti bernilai karunia. Btw, di sini adalah pengamatan sederhana, jika

, maka

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

. Oleh karena itu, kami memiliki algoritma yang lebih efisien untuk CNF-SAT dan kami menyangkal ETH (hipotesis waktu eksponensial).

D S P A C E (n) \subseteq D T I M E (2^{O (\sqrt{n})})

$DSPACE(n) \subseteq DTIME(2^{O(\sqrt{n})})$

— Michael Wehar

3

Mengikuti komentar @ MichaelWehar, implikasinya mengikuti dari argumen padding standar yang meluas ke hipotesis yang lebih lemah: jika

ada di

, maka setiap masalah yang dapat diselesaikan dalam ruang linear (termasuk masalah kepuasan), dapat diselesaikan dalam waktu

L^{1 + ϵ}

$L^{1 + \epsilon}$

P

$P$

.

2^{O (n^{\frac{1}{1 + ϵ}})}

$2^{O\left(n^{\frac{1}{1 + \epsilon}}\right)}$

— argentpepper

3

@SajinKoroth: Saya pikir komentar Anda, serta jawaban Michael Wehar (dan tindak lanjut argentpepper) harus menjadi jawaban ...

— Joshua Grochow

26

Berikut ini adalah konsekuensi yang jelas: akan berarti dan karena itu . $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{P}$

Dengan teorema hierarki ruang, . Jika kemudian . $\forall \epsilon > 0: \mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon}$ $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$

— Sajin Koroth
sumber

Catatan kaki kecil: Jika

, maka kita memiliki

atau

.

P \neq L

$P \neq L$

P \neq N L

$P \neq NL$

N L \neq L

$NL \neq L$

— Michael Wehar

27

$\newcommand{\DSPACE}{\mathsf{DSPACE}} \newcommand{\L}{\mathsf{L}} \newcommand{\P}{\mathsf{P}} \newcommand{\DTIME}{\mathsf{DTIME}}$

akan menyangkalHipotesis Waktu Eksponensial. $\L^2 \subseteq \P$

Jika maka dengan argumen padding $\L^2 \subseteq \P$ . Ini berarti bahwa masalah kepuasan dapat diputuskan dalamlangkah, menyangkal Hipotesis Waktu Eksponensial. $\DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(\sqrt n)})$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n)$ $2^{o(n)}$

Secara umum, untuk menyiratkan $\DSPACE(\log^{k} n) \subseteq \P$ $k\geq1$ . $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(n^{\frac{1}{k}})})$

(Jawaban ini diperluas dari komentar oleh @MichaelWehar.)

— argentpepper
sumber

Terima kasih telah memperluas komentar! Saya menghargainya. :)

— Michael Wehar

1

Selain itu, hipotesis terakhir juga menyiratkan bahwa

adalah dalam DSPACE (

)

DTIME (

Q B F

$QBF$

n

$n$

\subseteq

$\subseteq$

).

2^{O (n^{\frac{1}{k}})}

$2^{O(n^{\frac{1}{k}})}$

— Michael Wehar

8

Kelompok isomorfisma (dengan kelompok yang diberikan sebagai tabel perkalian) akan berada di P. Lipton, Snyder, dan Zalcstein menunjukkan masalah ini adalah dalam , tetapi masih terbuka apakah itu dalam P. Batas atas saat ini terbaik adalah -waktu, dan karena mengurangi ke grafik isomorfisme, berdiri sebagai hambatan yang signifikan untuk menempatkan iso grafik ke dalam P. $\mathsf{L}^2$ $n^{O(\log n)}$

Membuat saya bertanya-tanya apa masalah alami dan penting lainnya yang akan terjadi pada: yaitu di tetapi dengan waktu yang paling dikenal sebagai kuasi polinomial batas atas. $\mathsf{L}^2$

— Joshua Grochow
sumber

1

Lebih khusus, masalah yang lebih umum dari quasigroup isomorfisma dalam

, yang merupakan subclass dari

.

β_{2} F O L L

$\beta_2 \mathsf{FOLL}$

L^{2}

$\mathsf{L}^2$

— argentpepper

1

Juga, masalah peringkat kelompok (diberikan kelompok terbatas G sebagai tabel perkalian dan bilangan bulat k , apakah G memiliki seperangkat kardinalitas k ?) Juga memiliki properti ini. Algoritma ini hanya pencarian atas himpunan bagian dari G dari kardinalitas k tetapi menggunakan dua fakta penting: (1) masing-masing kelompok terbatas memiliki generating set ukuran logaritmik dan (2) keanggotaan subkelompok dalam

, yang sama dengan

.

S L

$\mathsf{SL}$

L

$\mathsf{L}$

— argentpepper

1

Klaim: Jika untuk beberapa , maka dan . $L^k \subseteq P$ $k > 2$ $P \neq \log(CFL)$ $P \neq NL$

Misalkan untuk beberapa . $L^k \subseteq P$ $k > 2$

Dari " Batas memori untuk pengenalan bahasa yang bebas konteks dan peka konteks ", kita tahu bahwa . Dengan teorema hierarki ruang, kita tahu bahwa . $CFL \subseteq DSPACE(\log^2(n))$ $DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n))$

Karena itu, kita dapatkan . $\log(CFL) \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

Juga, oleh Teorema Savitch, kita tahu bahwa . Karena itu, kita dapatkan $NL \subseteq L^2$ . $NL \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

— Michael Wehar
sumber