Intractability masalah NP-complete sebagai prinsip fisika?

Saya selalu tertarik dengan kurangnya bukti numerik dari matematika eksperimental untuk atau menentang pertanyaan P vs NP. Sementara Hipotesis Riemann memiliki beberapa bukti pendukung dari verifikasi numerik, saya tidak mengetahui bukti serupa untuk pertanyaan P vs NP.

Selain itu, saya tidak mengetahui adanya konsekuensi dunia fisik langsung dari keberadaan masalah yang tidak dapat diputuskan (atau adanya fungsi yang tidak dapat dihitung). Protein lipat adalah masalah NP-lengkap tetapi tampaknya terjadi sangat efisien dalam sistem biologis. Scott Aaronson mengusulkan menggunakan Asumsi Kekerasan NP sebagai prinsip fisika. Dia menyatakan anggapan itu secara informal sebagai " masalah NP-complete tidak bisa diterapkan di dunia fisik ".

Dengan asumsi Asumsi Kekerasan NP, Mengapa sulit untuk merancang eksperimen ilmiah yang memutuskan apakah alam semesta kita menghormati Asumsi Kekerasan NP atau tidak?

Juga, Apakah ada bukti numerik yang diketahui dari matematika eksperimental untuk atau terhadap ?$P\ne NP$

EDIT: Ini adalah presentasi yang bagus dari Scott Aaronson berjudul Computational Intractability As A Phys of Physics

Saya tidak berpikir bahwa fakta bahwa adalah pernyataan asimptotik adalah "dealbreaker" otomatis. Seseorang dapat membuat dugaan konkret yang konsisten dengan pengetahuan kita tetapi lebih kuat dari P vs NP seperti "Dibutuhkan setidaknya 2 n / 10 langkah untuk menemukan tugas yang memuaskan untuk rumus acak variabel 10SAT n" (dengan "acak" misalnya, model yang ditanam dari Achlioptas Coja-Oghlan , ini hanya sebuah contoh - saya tidak tahu angka beton yang masuk akal begitu saja).$P\neq NP$$2^{n/10}$

Dugaan seperti itu dapat menghasilkan prediksi yang dapat disangkal bahwa sistem alami apa pun yang akan mencoba menyelesaikan masalah ini akan gagal (misalnya, terjebak dalam minimum lokal), sesuatu yang dapat Anda verifikasi dengan eksperimen. Memang, saya bukan ahli dalam hal ini tetapi setahu saya, seperti yang dikatakan Joe Fitzsimons, prediksi seperti itu telah dikonfirmasi dengan komputasi adiabatik. (Scott Aaronson juga melakukan eksperimen menghibur dengan gelembung sabun.)

Tentu saja Anda juga dapat melihat beberapa "bukti empiris" untuk dalam kenyataan bahwa orang telah mencoba untuk menyelesaikan masalah optimisasi, cryptoanalyze enkripsi, dll. Dan belum berhasil sejauh ini ...$P \neq NP$

Dunia nyata adalah objek berukuran konstan, jadi tidak ada cara untuk mengesampingkan prosedur dunia nyata polinomial-waktu untuk menyelesaikan masalah NP-lengkap yang memiliki konstanta besar yang tersembunyi dalam notasi O besar.

Lagi pula, di samping poin ini, asumsi adalah pernyataan dari bentuk "tidak ada prosedur dunia nyata yang ..." Bagaimana seseorang merancang percobaan untuk menyangkal pernyataan seperti itu? Jika anggapan itu seperti "Jika kita melakukan X di dunia nyata, Y terjadi," maka ini dapat disangkal dengan melakukan X. Pernyataan yang kita inginkan menegaskan tidak adanya sesuatu, jadi saya tidak dapat melihat eksperimen memutuskan itu. Ini dapat ditampilkan sebagai konsekuensi fisik dari hukum fisika, tetapi ini bahkan lebih sulit daripada P vs NP, karena mesin Turing memang mengikuti hukum fisika. Karena kami tidak berhasil bahkan dalam menunjukkan bahwa TM tidak dapat menyelesaikan masalah NP-lengkap dalam waktu polinomial, tampaknya sama sekali tidak ada harapan untuk menunjukkan bahwa tidak ada proses fisik yang dapat menyelesaikan masalah NP-complete dalam waktu polinomial.

Memang versi fisik P tidak sama dengan NP, yaitu bahwa tidak ada sistem fisik alami yang dapat menyelesaikan masalah NP lengkap sangat menarik. Ada beberapa kekhawatiran

1) Program ini tampaknya praktis "ortogonal" untuk fisika eksperimental dan teoritis. Jadi itu tidak benar-benar memberikan (sejauh ini) wawasan yang berguna dalam fisika.

Ada beberapa argumen yang bagus bagaimana seseorang dapat menyimpulkan dari versi fisik dari dugaan ini beberapa wawasan dalam fisika, tetapi argumen ini cukup "lunak" dan memiliki celah. (Dan argumen seperti itu cenderung bermasalah, karena mereka bergantung pada dugaan matematika yang sangat sulit seperti NP nonot sama dengan P, dan NP tidak dimasukkan dalam BQP yang tidak kita mengerti.)

(Komentar serupa berlaku untuk "tesis Gereja-turing".)

2) Meskipun NP fisik yang tidak sama dengan P adalah dugaan yang lebih luas daripada NP matematika yang tidak sama dengan P, kita juga dapat menganggapnya lebih terbatas karena algoritma yang terjadi di alam (dan bahkan algoritma buatan manusia) tampaknya sangat kelas terbatas dari semua algoritma yang dimungkinkan secara teoritis. Akan sangat menarik untuk memahami pembatasan semacam itu secara formal, tetapi bagaimanapun "bukti" ekserimental seperti yang disarankan dalam pertanyaan hanya akan berlaku untuk kelas terbatas ini.

3) Dalam pemodelan ilmiah, kompleksitas komputasi mewakili semacam masalah urutan kedua di mana pertama kita ingin memodelkan fenomena alam dan melihat apa yang dapat diprediksi berdasarkan model (mengesampingkan teori kompleksitas komputasi). Memberikan terlalu banyak bobot untuk masalah kompleksitas komputasi pada tahap pemodelan tampaknya tidak membuahkan hasil. Dalam banyak kasus, model ini sulit secara komputasional untuk memulai dengan tetapi mungkin masih layak untuk masalah yang terjadi secara alami atau berguna untuk memahami fenomena.

4) Saya setuju dengan Boaz bahwa masalah asimptotik tidak diperlukan sebagai "pelanggar kesepakatan". Tetap saja ini adalah masalah yang agak serius dalam hal relevansi masalah kompleksitas komputasi dengan pemodelan kehidupan nyata.

Jika Anda mengizinkan saya untuk menggeneralisasi sedikit saja ... Mari kita sampaikan pertanyaan dan tanyakan asumsi kompleksitas-teoretik kekerasan dan konsekuensinya untuk eksperimen ilmiah. (Saya akan fokus pada fisika.) Baru-baru ini ada program yang agak berhasil untuk mencoba memahami rangkaian korelasi yang diperbolehkan antara dua perangkat pengukuran yang, walaupun terpisah secara spasial, melakukan pengukuran pada sistem fisik (mungkin berkorelasi non-lokal) ( 1). Di bawah pengaturan ini dan yang serupa, seseorang dapat menggunakan asumsi tentang kekerasan kompleksitas komunikasi untuk memperoleh batas-batas ketat yang mereproduksi korelasi yang diperbolehkan untuk mekanika kuantum.

Untuk memberi Anda rasa, izinkan saya menjelaskan hasil sebelumnya dalam hal ini. Kotak Popescu-Rohrlich (atau kotak PR) adalah perangkat imajiner yang mereproduksi korelasi antara perangkat pengukuran yang konsisten dengan prinsip bahwa tidak ada informasi yang dapat bergerak lebih cepat daripada cahaya (disebut prinsip tanpa pensinyalan ).

S. Popescu & D. Rohrlich, Nonlocality Quantum sebagai aksioma, Ditemukan. Phys 24, 379-385 (1994).

Kita dapat melihat ini sebagai contoh kompleksitas komunikasi yang memiliki pengaruh. Gagasan bahwa dua pengamat harus berkomunikasi secara implisit mengasumsikan beberapa kendala yang oleh fisikawan tidak disebut pensinyalan. Memutar ide ini, jenis korelasi apa yang mungkin terjadi antara dua perangkat pengukuran yang tidak dibatasi oleh pensinyalan? Inilah yang dipelajari oleh Popescu & Rohrlich. Mereka menunjukkan bahwa rangkaian korelasi yang diijinkan ini benar-benar lebih besar daripada yang diizinkan oleh mekanika kuantum, yang pada gilirannya benar-benar lebih besar daripada yang diizinkan oleh fisika klasik.

Pertanyaannya kemudian muncul dengan sendirinya, apa yang membuat himpunan korelasi kuantum sebagai himpunan korelasi "benar", dan bukan himpunan yang diizinkan tanpa pensinyalan?

Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita membuat asumsi sederhana bahwa ada fungsi yang kompleksitas komunikasinya tidak sepele. Di sini non-sepele hanya berarti bahwa untuk bersama-sama menghitung fungsi boolean f (x, y), dibutuhkan lebih dari sekadar bit tunggal (2). Cukup mengejutkan, bahkan asumsi kompleksitas-teoretis yang sangat lemah ini cukup untuk membatasi ruang korelasi yang diperbolehkan.

G. Brassard, H. Buhrman, N. Linden, AA Méthot, A. Tapp, dan F. Unger, Batasan Nonlocality di Dunia Apa Pun Yang Kompleksitas Komunikasinya Tidak Sepele, Phys. Pdt. Lett. 96, 250401 (2006).

Perhatikan bahwa hasil yang lebih lemah sudah terbukti di Ph.D. tesis Wim van Dam. What Brassard et al. buktikan bahwa memiliki akses ke kotak PR, bahkan yang rusak dan hanya menghasilkan korelasi yang benar pada suatu waktu, memungkinkan seseorang untuk meremehkan kompleksitas komunikasi. Di dunia ini, setiap fungsi Boolean dua variabel dapat secara bersama dihitung dengan mentransmisikan hanya satu bit. Ini sepertinya sangat absurd, jadi mari kita lihat sebaliknya. Kita dapat menganggap kompleksitas komunikasi yang non-triviality sebagai aksioma, dan ini memungkinkan kita untuk memperoleh fakta bahwa kita tidak mengamati korelasi tertentu yang lebih kuat daripada kuantum dalam eksperimen kami.

Program ini menggunakan kompleksitas komunikasi secara mengejutkan berhasil, mungkin jauh lebih dari yang sesuai untuk kompleksitas komputasi. Kertas-kertas di atas benar-benar hanya puncak gunung es. Tempat yang baik untuk memulai membaca lebih lanjut adalah ulasan ini:

H. Buhrman, R. Cleve, S. Massar dan R. de Wolf, Nonlocality dan kompleksitas komunikasi, Rev. Mod. Phys 82, 665–698 (2010).

atau pencarian literatur lanjutan dari dua makalah lain yang saya kutip.

Ini juga menimbulkan pertanyaan menarik tentang mengapa pengaturan komunikasi tampaknya jauh lebih setuju untuk dianalisis daripada pengaturan komputasi. Mungkin itu bisa menjadi subjek pertanyaan lain yang diposting di cstheory.

(1) Ambil contoh percobaan yang mengukur sesuatu yang dikenal sebagai ketimpangan CHSH (sejenis ketimpangan Bell ), di mana sistem fisik terdiri dari dua foton terjerat, dan pengukurannya adalah pengukuran polarisasi pada masing-masing foton di dua lokasi yang jauh secara spasial.

(2) Bit tunggal ini diperlukan setiap kali f (x, y) benar-benar tergantung pada x dan y, karena mengirim nol bit tidak akan melanggar pensinyalan.

Juga, Apakah ada bukti numerik yang diketahui dari matematika eksperimental untuk atau terhadap P ≠ N P$P \neq NP$

$NP \subseteq P/poly$

Sekarang, menemukan sirkuit minimum untuk SAT hingga panjang 10 saat ini sangat sulit. Namun, beberapa gagasan dalam teori kompleksitas geometris memungkinkan Anda untuk mendapatkan hasil yang serupa dengan pencarian komputasi yang lebih efisien (saya pikir hanya eksponensial dan bukan eksponensial ganda). Salah satu dugaan Mulmuley adalah bahwa sebenarnya pencarian ini dapat dilakukan dalam waktu polinomial, tetapi kami masih jauh dari membuktikan sesuatu yang dekat dengan itu.

Definisi "waktu polinomial" dan "waktu eksponensial" menggambarkan perilaku membatasi waktu berjalan ketika ukuran input tumbuh hingga tak terbatas. Di sisi lain, percobaan fisik apa pun hanya mempertimbangkan input dengan ukuran terbatas. Jadi, sama sekali tidak ada cara untuk menentukan secara eksperimental apakah suatu algoritma tertentu berjalan dalam waktu polinomial, waktu eksponensial, atau sesuatu yang lain.

Atau dengan kata lain: apa yang dikatakan Robin.

Biarkan saya memulai dengan mengatakan bahwa saya setuju sepenuhnya dengan Robin. Mengenai pelipatan protein, ada masalah kecil. Seperti halnya semua sistem semacam itu, pelipatan protein bisa tersangkut di minima lokal, yang sepertinya Anda abaikan. Masalah yang lebih umum adalah hanya menemukan keadaan dasar dari beberapa Hamilton. Sebenarnya, bahkan jika kita hanya mempertimbangkan spin (yaitu qubit) masalah ini selesai untuk QMA.

Hamiltonians alami sedikit lebih lembut, namun, dari beberapa yang buatan yang digunakan untuk membuktikan kelengkapan QMA (yang cenderung tidak mencerminkan interaksi alami), tetapi bahkan ketika kita membatasi interaksi dua tubuh alami pada sistem sederhana hasilnya masih NP. Masalah -lengkap. Memang, ini membentuk dasar dari suatu upaya yang berusaha untuk mengatasi masalah NP menggunakan komputasi kuantum adiabatik. Sayangnya tampaknya pendekatan ini tidak akan berfungsi untuk masalah NP-lengkap, karena masalah yang agak teknis berkaitan dengan struktur tingkat energi. Namun hal ini mengarah pada konsekuensi yang menarik dari ada masalah yang ada dalam NP yang secara alami tidak dapat dipecahkan (yang saya maksud adalah proses fisik). Ini berarti ada sistem yang tidak bisa didinginkan secara efisien. Artinya,

Studi tentang situasi dunia nyata dari perspektif komputasi cukup sulit karena "lompatan" diskrit berkelanjutan. Sementara semua peristiwa di dunia nyata (seharusnya) dijalankan dalam waktu kontinu, model yang biasanya kita gunakan diimplementasikan dalam waktu diskrit. Oleh karena itu, sangat sulit untuk menentukan seberapa kecil atau besar langkah seharusnya, berapa ukuran masalah, dll.

Saya telah menulis ringkasan pada makalah Aaronson tentang masalah ini, namun itu tidak dalam bahasa Inggris. Lihat kertas aslinya .

Secara pribadi, saya telah mendengar contoh lain dari masalah dunia nyata dimodelkan ke dalam komputasi. Makalah ini membahas tentang model sistem kontrol yang berdasarkan pada kawanan burung. Ternyata meskipun membutuhkan waktu singkat dalam kehidupan nyata untuk burung, makalah ini tidak dapat dipecahkan ("menara 2-an") ketika dianalisis sebagai masalah komputasi. Lihat kertas karya Bernard Chazelle untuk detailnya.

[Sunting: Mengklarifikasi bagian tentang kertas Chazelle. Terima kasih telah memberikan informasi yang tepat.]

Saya masih memilih masalah n-tubuh sebagai contoh dari NP kepraktisan. Tuan-tuan yang merujuk pada solusi numerik lupa bahwa solusi numerik adalah model rekursif, dan bukan solusi pada prinsipnya dengan cara yang sama dengan solusi analitik. Solusi analitik Qui Dong Wang tidak bisa diterapkan. Protein yang dapat melipat, dan planet-planet yang dapat mengorbit dalam sistem lebih dari dua benda adalah sistem fisik, bukan solusi algoritmik dari jenis yang ditangani oleh masalah P-NP.

Saya juga harus menghargai kesulitan chazisop dengan solusi dalam waktu terus menerus. Jika waktu atau ruang kontinu, ruang keadaan potensial menjadi tidak terhitung (aleph one).

Kami tidak dapat memecahkan masalah secara efisien $n$-salah satu masalah, tetapi planet-planet batu-untuk-otak tampaknya berhasil dengan baik.