Menghitung penutupan serikat pekerja

Diberikan keluarga paling banyak himpunan bagian dari . Penutupan serikat adalah himpunan keluarga lain berisi setiap set yang dapat dibangun dengan mengambil serikat dari 1 atau lebih set di . Olehkami menunjukkan jumlah set di . $\mathcal F$ $n$ $\{ 1, 2, \dots, n \}$ $\mathcal F$ $\mathcal C$ $\mathcal F$ $|\mathcal C|$ $\mathcal C$

Apa cara tercepat untuk menghitung penutupan serikat?

Saya telah menunjukkan kesetaraan antara penutupan serikat dan daftar semua set independen maksimal dalam grafik bipartit, oleh karena itu kita tahu bahwa menentukan ukuran penutupan serikat adalah # P-complete.

Namun ada cara untuk membuat daftar semua set independen maksimal (atau klik maksimal) dalam waktu untuk grafik dengan node dan edge Tsukiyama et al. 1977. Tetapi ini tidak khusus untuk grafik bipartit. $O(|\mathcal C| \cdot nm)$ $n$ $m$

Kami memberikan algoritme untuk grafik bipartit dengan runtime $|\mathcal C| \cdot \log |\mathcal C| \cdot n^2$ http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/BooleanWidth_I.pdf

Metode kami didasarkan pada pengamatan bahwa setiap elemen dalam $C$ dapat dibuat dengan penyatuan beberapa elemen lain dari $C$ dan salah satu set asli. Karenanya kita akan setiap kali kita menambahkan elemen ke $C$ mencoba untuk memperluasnya dengan salah satu dari $n$ set asli. Untuk masing-masing $n \cdot |C|$ set kita perlu memeriksa apakah mereka masih dalam $C$ . Kami menyimpan $C$ sebagai pohon pencarian biner, sehingga setiap pencarian membutuhkan $\log |C| \cdot n$ waktu.

Apakah mungkin untuk menemukan penutupan serikat $\mathcal C$ dalam waktu $O(|\mathcal C| \cdot n^2)$ ? Atau bahkan dalam waktu $O(|\mathcal C| \cdot n)$ ?

— Martin Vatshelle
sumber

Dalam kesetaraan yang Anda tunjukkan antara penutupan serikat dan ind maksimal. set dalam grafik bipartit, apakah ekivalensi itu merupakan suatu penangkal? Atau dengan kata lain, dalam algoritme Anda untuk membuat daftar semua miximal ind. set grafik bipartit, adalahjumlah ind maksimal set?

| C |

$|C|$

— Vinayak Pathak

Ya itu adalah penipisan jadiadalah jumlah set independen maksimal. (perhatikan bahwa emptyset harus didefinisikan dalam ).

| C |

$|C|$

C

$C$

— Martin Vatshelle

Meskipun ini tidak mungkin membantu dengan pertanyaan Anda, apa yang Anda tanyakan adalah kasus khusus untuk menghitung penutupan elemen ke atas dalam kisi, dan saya ingin tahu apakah ada hasil dari sana yang mungkin berguna.

— Suresh Venkat

Survei yang saya tunjukkan dalam jawaban saya di bawah ini memberikan beberapa tautan dengan kisi.

— M. kanté

Kompleksitas enumerasi set independen maksimal dalam grafik adalah sama dengan pada grafik bipartit, sehingga bipartiteness tidak membawa sesuatu yang baru.

Anda memiliki algoritme (dengan ruang eksponensial) dalam , tetapi tidak ada algoritme ruang polinomial yang mencapai kompleksitas waktu ini yang diketahui. Makalah berikut ini http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X08004563 adalah survei yang bagus. $O(|C|\cdot n^2)$

— M. kanté
sumber