CLIQUE alami ke pengurangan k-Color

Jelas ada pengurangan dari CLIQUE ke k-Color karena keduanya NP-Complete. Bahkan, saya bisa membuat satu dengan menyusun pengurangan dari CLIQUE ke 3-SAT dengan pengurangan dari 3-SAT ke k-Color. Yang saya bertanya-tanya adalah apakah ada pengurangan langsung yang masuk akal antara masalah-masalah ini. Katakanlah, pengurangan yang bisa saya jelaskan kepada seorang teman cukup singkat tanpa perlu menggambarkan bahasa perantara seperti SAT.

Sebagai contoh dari apa yang saya cari, berikut adalah pengurangan langsung ke arah sebaliknya: Diberikan G dengan dan beberapa (jumlah warna), buat grafik G 'dengan simpul (satu per warna per simpul). Verteks , sesuai dengan simpul dan warna masing-masing berbatasan jika dan hanya jika dan ( atau ). Sebuah -clique di hanya memiliki satu simpul per simpul dalam , dan warna yang sesuai adalah -color yang tepat dari $n$ $k$ $kn$ $v'$ $u'$ $v, u$ $c, d$ $v \neq u$ $c \neq d$ $vu \not \in G$ $n$ $G'$ $G$ $k$ $G$ . Demikian pula, setiap tepat dari memiliki klik yang sesuai dalam . $k$ $G$ $G'$

Sunting : Untuk menambahkan beberapa motivasi singkat, 21 masalah asli Karp dibuktikan NP-Complete oleh pohon reduksi di mana CLIQUE dan Chromatic Number membentuk akar dari subpohon utama. Ada beberapa pengurangan alami antara masalah pada subtree CLIQUE dan subtree Chromatic Number, tetapi banyak dari mereka yang sulit ditemukan seperti yang saya tanyakan. Saya mencoba menelusuri apakah struktur pohon ini menunjukkan beberapa struktur yang mendasari pada masalah lain atau apakah itu sepenuhnya merupakan konsekuensi dari pengurangan yang ditemukan pertama kali, karena ada sedikit motivasi untuk mencari pengurangan antara dua masalah ketika mereka diketahui berada di kelas kompleksitas yang sama. Tentu saja tatanan itu memiliki pengaruh, dan bagian-bagian pohon dapat ditata ulang, tetapi dapatkah ditata ulang secara sewenang-wenang?

Sunting 2 : Saya terus mencari pengurangan langsung, tapi di sini ada sketsa yang terdekat dengan yang saya dapatkan (seharusnya pengurangan yang valid, tetapi memiliki CIRCUIT SAT sebagai perantara yang jelas; agak subjektif apakah ini lebih baik daripada menyusun dua pengurangan sebagaimana disinggung dalam paragraf pertama).

Mengingat , kita tahu bahwa dapat berupa -warna dengan simpul semua berwarna True iff memiliki -clique. Kami nama simpul asli dan kemudian tambahkan ke simpul tambahan: dengan , . Invarian kunci adalah bahwa dapat diwarnai True jika dan hanya jika di antara simpul setidaknya ada simpul berwarna True. Jadi, setiap dapat Benar. Kemudian, $G, k$ $\overline{G}$ $n-k+1$ $k$ $G$ $k$ $G$ $v_1, \ldots, v_n$ $\overline G$ $C_{ij}$ $1 \le i \le n$ $0 \le j \le k$ $C_{ij}$ $\{v_1,\ldots, v_i\}$ $j$ $C_{i0}$ $C_{ij}$ untuk mendapatkan warna mana semua warna yang tidak benar diperlakukan sebagai salah. Ada -clique di iff dapat diwarnai True, jadi jika kita memaksakan pewarnaan itu, grafik baru akan berwarna jika ada -clique dalam grafik asli. $j > 0$ $C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$ $k$ $G$ $C_{nk}$ $k$

Gadget AND dan OR untuk menegakkan hubungan sangat mirip dengan pengurangan dari CIRCUIT SAT menjadi 3-COLOR, tetapi di sini kami menyertakan dalam grafik kami, pilih simpul T, F, dan Ground, lalu sambungkan semua yang lain ke semuanya kecuali ; ini memastikan bahwa s dan gadget lainnya hanya menerima 3 warna. $K_{n-k+1}$ $v_i$ $C_{ij}$

Bagaimanapun, bagian dari pengurangan ini terasa langsung, tetapi penggunaan gerbang AND / OR jauh lebih tidak langsung. Pertanyaannya tetap, apakah ada pengurangan yang lebih elegan? $\overline G$

Sunting 3 : Ada beberapa komentar tentang mengapa pengurangan ini sulit ditemukan. CLIQUE dan k-Color memang masalah yang sangat berbeda. Meskipun tanpa pengurangan, sekalipun, jawaban yang merinci mengapa pengurangan sulit di satu arah tetapi mungkin di sisi lain akan sangat membantu dan berkontribusi banyak untuk masalah ini.

— William Macrae
sumber

Jenis reduksi langsung yang Anda cari mungkin sulit ditemukan karena klik dan pewarnaan agak bertolak belakang dalam arti bahwa 1-klik mudah ditemukan sebagai warna-n. Jadi mungkin pengurangannya harus dalam bentuk:

memiliki

-warna jika dan hanya jika

memiliki

-cliqueG′ $G'$

n−k $n-k$

G $G$

k $k$

— Martin Vatshelle

Saya setuju bahwa itu sulit; inilah alasan minat saya; Saya akan memberikan detail tentang motivasi dalam pertanyaan. The

-coloring ide telah membuat saya paling dekat. Jika ada

-clique di

maka

dapat memiliki semua simpul dalam klik monokromatik karena mereka adalah set independen. Masalahnya adalah bahwa jumlah kromatik sisanya dapat bervariasi. Menghubungkan dua simpul ke sebuah

memaksa mereka untuk memiliki warna yang sama, tapi saya tidak tahu yang mengatur simpul untuk memaksa. Gadget yang memaksa

keluar dari

n−k $n-k$

k $k$

G $G$

G¯¯¯¯ $\overline{G}$

Kn−k−1 $K_{n-k-1}$

i $i$

j $j$ simpul menjadi monokromatik akan melakukannya.

— William Macrae

Saya setuju dengan Martin di sini bahwa ini bahkan mungkin tidak dapat dilakukan (tanpa melalui, katakanlah 3SAT). Klik dan pewarnaan memiliki sedikit kesamaan. Karena itu saya ingin mengingat teorema Erd, mengingat naturals g dan k, ada grafik dengan ketebalan setidaknya g dan angka kromatik setidaknya k (pikirkan tentang itu untuk sementara waktu jika Anda tidak terbiasa dengan itu). Akhirnya, pengurangan Anda juga harus menyadari bahwa ketika Clique (dan Independent Set) berada di

diparameterisasi oleh set solusi, tidak ada parameterisasi yang setara untuk jumlah kromatik grafik. W[1] $W[1]$

— Pål GD

Saya tidak mengerti komentar @ MartinVatshelle. Sejauh yang saya tahu, semua 1-klik, 1-warna, n-klik, dan n-warna sepele pada tingkat yang sama. (jangan berpikir Anda selalu bisa menjawab 1-klik dengan YA: grafik input mungkin kosong!)

— Yixin Cao

Saya pikir poin Martin adalah menunjukkan

dan

, tetapi lebih sulit untuk menemukan

daripada

. Jadi ada sedikit dualitas pada kedua konsep tersebut. @ Poin PålGD tentang teorema Erd adalah teorema yang hebat (dan saya suka teorema itu), karena grafik dengan ketebalan besar memiliki angka kemandirian yang besar, sehingga inversnya akan memiliki klik-klik besar. Secara keseluruhan rasanya seperti ada jebakan di sini meskipun, yang berhubungan cliques dan Colourings dalam grafik yang sama atau mirip, tetapi karena dengan arah sebaliknya pengurangan mungkin membangun grafik yang sangat berbeda dari

.χ(G)=4 $\chi(G)=4$

χ(G)=3 $\chi(G)=3$

K4 $K_4$

K3 $K_3$

G $G$

— William Macrae

Jawaban:

Mengingat grafik dan sejumlah , sehingga Anda ingin tahu apakah mengandung -clique, biarkan n adalah jumlah simpul di . Kami membuat grafik , sehingga adalah -colorable jika dan hanya jika memiliki -clique, sebagai berikut: $G$ $k$ $G$ $k$ $G$ $H$ $H$ $n$ $G$ $k$

(1) Untuk setiap simpul dalam , buat -simpul simpul dalam , di mana berkisar dari hingga . $v$ $G$ $n$ $(v,i)$ $H$ $i$ $1$ $n$

(2) Tambahkan satu tambahan simpul ke . $x$ $H$

(3) Untuk setiap rangkap tiga dari simpul dalam , di mana dan , uji apakah salah satu dari kondisi berikut ini berlaku: baik dan , atau dan adalah simpul yang tidak berdekatan dalam dengan $\{x,y,z\}$ $H$ $y=(v,i)$ $z=(u,j)$ $u\ne v$ $i=j$ $u$ $v$ $G$ $\max(i,j)\le k$ . Jika salah satu dari dua hal ini benar, menambah -clique ke . Dalam klik ini, pilih tiga simpul , , dan . Hubungkan ke setiap simpul dalam klik kecuali untuk dan ; hubungkan ke setiap simpul dalam klik kecuali untuk dan ; dan hubungkan ke setiap simpul dalam klik kecuali untuk dan . $n$ $H$ $x'$ $y'$ $z'$ $x$ $y'$ $z'$ $y$ $x'$ $z'$ $z$ $x'$ $y'$

Gadget yang ditambahkan pada langkah (3) mencegah triple dari simpul , , dan dari semua diberi warna yang sama satu sama lain dalam pewarnaan valid . Klik di dapat dipulihkan dari pewarnaan sebagai himpunan simpul yang berada dalam kelas warna yang sama dengan dan yang memiliki . $x$ $y$ $z$ $H$ $G$ $H$ $(v,i)$ $x$ $i\le k$

— David Eppstein
sumber

Ini luar biasa.

— William Macrae

Untuk beberapa alasan edit saya ditolak, tetapi kalimat terakhir harus menggambarkan simpul G daripada H (karena ini dimaksudkan untuk menggambarkan klik di G). Sesuatu seperti "Klik di

dapat dipulihkan dari pewarnaan H sebagai

" Juga, saya lupa mengucapkan terima kasih atas jawabannya, ini sangat membantu! G $G$

{v:∃i≤kχ((v,i))=χ(x)}. $\{v : \exists i \le k \chi((v,i)) = \chi(x) \}.$

— William Macrae

Tentu, Anda bisa memasukkan klausa lain pada kalimat itu tentang melepaskan

dari masing-masing pasangan, tetapi saya pikir langkah itu cukup mudah untuk dihilangkan, dan perasaan umum saya adalah bahwa (ketika itu dapat disimpan cukup singkat) prosa cenderung lebih mudah dibaca daripada formula. i $i$

— David Eppstein

Saya setuju bahwa prosa lebih disukai. Mungkin hanya menambahkan frasa seperti "koordinat pertama dari masing-masing (v, i) ..." adalah ide. Alasan kekhawatiran saya tentang teknisnya adalah bahwa ketika pertama kali membaca reduksi akan sulit untuk menjaga definisi elemen dalam bahasa pertama dan kedua, dan yang mana. Begitu sesuatu muncul untuk memecahkan definisi, itu bisa melempar saya untuk loop. Jika saya mengalami kesulitan memahami kalimat sebelumnya dan sampai ke yang terakhir, saya akan menentukan bahwa G dan H memiliki simpul dari bentuk (v, i).

— William Macrae

Saya juga harus mengatakan bahwa saya pikir Anda telah melakukan pekerjaan yang jauh lebih baik berbicara melalui pengurangan ini daripada hampir semua yang saya baca. Ada masalah dalam literatur bahwa banyak pengurangan dinyatakan secara formal tanpa motivasi atau intuisi, dan Anda telah menghindarinya dengan sangat baik.

— William Macrae

-7

?? pewarnaan dan penemuan klik telah dikenal sangat erat selama beberapa dekade melalui teori grafik (mungkin bahkan di tahun 60an?) bahkan tidak melalui SAT sebagai perantara (yang menjadi khas setelah bukti Cook pada tahun 1971). percaya ada algoritma berdasarkan pada properti dasar berikut :

Jika G berisi klik ukuran k, maka setidaknya k warna diperlukan untuk mewarnai klik itu; dengan kata lain, bilangan kromatik setidaknya adalah bilangan klik: $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

tidak yakin dengan referensi yang tepat tetapi [1,2] adalah tempat yang baik untuk memulai, algoritma atau referensi yang tepat setidaknya mungkin dikutip dalam buku-buku ini.

[1] Klik, pewarnaan, & kepuasan, tantangan DIMAC ke-2

[2] Dimacs vol 26: Klik, pewarnaan, dan kepuasan

— ay
sumber

Menggunakan properti

, Anda dapat memanggil algoritma untuk

pada

: jika algoritma mengembalikan

, maka

tidak mengandung klik ukuran setidaknya

. Namun implikasi sebaliknya tidak berlaku: jika algoritma mengembalikan

, maka

mungkin atau mungkin tidak memiliki klik ukuran setidaknyaχ(G)≥ω(G) $\chi(G) \geq \omega(G)$

k−COLORABILITY $k-COLORABILITY$

G $G$

YES $YES$

$G$

$k+1$

$NO$

$G$

(sebagai contoh tandingan, anggap sebuah piramida yang basis poligonnya memiliki jumlah simpul ganjil: bukansimpul

warna, namun ia tidak memiliki klik ukuran setidaknya

). $k+1$

$3$

$4$

— Giorgio Camerani

ya setuju; seperti yang saya tafsirkan, posting asli tidak bersikeras pada arah pengurangan tetapi lebih menekankan menghindari SAT sebagai perantara, meminta "penjelasan yang cukup singkat". juga mencolok tidak ada yang menyebutkan fakta di atas sejauh ini .... pertanyaan & komentar juga tampaknya tidak akurat menunjukkan dalam berbagai cara kedua masalah tidak erat digabungkan ....

— vzn

Permintaan maaf jika arahnya ambigu. Saya tertarik pada pengurangan yang benar (YA

$\iff$ YA), dan saya tertarik pada pengurangan dari Clique menjadi k-Color. Saya memiliki arah lain dan dijelaskan di posting saya. Tentu saja ada banyak hal yang menghubungkan klik dalam grafik dengan pewarnaan dalam grafik dan sebaliknya, dan memang saya telah melihat banyak dari mereka (dan saya berasumsi banyak orang lain di sini telah melihat banyak dari mereka), tetapi saya benar-benar tertarik secara langsung dalam mengarahkan pengurangan atau penjelasan yang meyakinkan tentang mengapa itu mungkin tidak ada.

— William Macrae

@ vzn: Komentar saya tidak dimaksudkan untuk mengkritik jawaban Anda. Sejujurnya, awalnya saya membuat alasan yang serupa dengan Anda, tetapi kemudian saya menyadari bahwa, jika implikasi sebaliknya akan berlaku, maka

pada grafik umum, yang dikenal sebagai NP-complete , akan dapat dipecahkan sepele dengan hanya memeriksa apakah grafik input memiliki klik

node: setiap

akan menjadi

-warna jika dan hanya jika tidak mengandung klik ukuran

(itu jelas salah, tentu saja, seperti contoh piramida menunjukkan). Ngomong-ngomong: Aku bukan orang yang downvoted. $3-COLORING$

$4$

$G$

$3$

$4$

— Giorgio Camerani

@ WilliamMacrae: Jelas sekali Anda menginginkan pengurangan

, jika tidak, itu tidak akan menjadi pengurangan! Juga, sangat jelas bahwa Anda menginginkan pengurangan dari

dan bukan sebaliknya. $\Longleftrightarrow$

$CLIQUE$

$COLORING$

— Giorgio Camerani