Sistem bukti penjumlahan dasar, yang diperkenalkan dengan nama sanggahan Positivstellensatz oleh Grigoriev dan Vorobjov , adalah sistem bukti "statis" untuk menunjukkan bahwa seperangkat persamaan dan persamaan polinomial
mana , tidak memiliki solusi umum dalam : sanggahan diberikan oleh polinomial dan sedemikian sehingga
(Seseorang dapat bekerja dengan bidang yang benar-benar tertutup di tempatf 1 , ... , f k , h 1 , ... , h m ∈ R [ x 1 , ... , x n ] R n S g i e I
S= { f1= 0 , ... , fk= 0 , h1≥ 0 , ... , hm≥ 0 } ,
f1, ... , fk, h1, ... , hm∈ R [ x1, ... , xn]RnSgsaya- 1 = k ∑ i = 1 g i f i + ∑ I ⊆ { 1 , … , m } ∑ j e 2 I , j ∏ i ∈ I h i . Resaya, j- 1 = ∑i = 1kgsayafsaya+ ∑saya⊆ { 1 , ... , m }∑je2saya, j∏saya∈ Ihsaya.( ∗ )
R.) Positivstellensatz Stengle menjamin bahwa
S memiliki penolakan jika dan hanya jika ia tidak memiliki solusi. Ukuran kompleksitas utama di sini adalah
tingkat sanggahan, yang merupakan maksimum dari total derajat polinomial yang muncul di bawah tanda penjumlahan dalam
( ∗ ) , yaitu,
gsayafsaya dan
e2saya, j∏i ∈ Ihsaya .
Seperti biasa dengan sistem bukti aljabar, kita juga dapat menganggapnya sebagai sistem sanggahan untuk formula Boolean \ phi yang tidak memuaskan ϕdengan memasukkan dalam S aksioma x2saya- xsaya untuk setiap variabel xsaya , dan terjemahan ϕ oleh ketidaksetaraan polinomial.
Lebih lanjut tentang sejarah dan pengembangan sistem SOS dapat ditemukan di http://arxiv.org/abs/1211.1958 .