Sistem bukti jumlah kotak


23

Baru-baru ini saya telah melihat beberapa artikel tentang arxiv yang merujuk pada sistem bukti yang disebut sum-of-square.

Dapatkah seseorang menjelaskan apa yang merupakan bukti jumlah kotak dan mengapa bukti semacam itu penting / menarik?

Bagaimana mereka terkait dengan sistem bukti aljabar lainnya? Apakah mereka semacam dualitas bagi Lassere?


11
Ada beberapa ikhtisar di arxiv.org/abs/1211.1958 . Sistem SOS dasar didefinisikan secara sepintas pada halaman 3 (lihat Grigoriev dan Vorobjov).
Emil Jeřábek mendukung Monica

3
@Emil, sepertinya makalah ini berisi jawaban atas pertanyaan-pertanyaan di pos (ini menjelaskan sistem, sejarahnya, dan relevansinya dengan karya terbaru), mengapa tidak memposting komentar Anda sebagai jawaban?
Kaveh

@ EmilJeřábek Saya akan menerima komentar Anda jika Anda mengirim versi yang diperluas sebagai jawaban.
Anonim

2
OK, saya sudah melakukannya, meskipun saya lebih suka jika itu dijawab oleh seseorang yang benar-benar memahami sistem ini.
Emil Jeřábek mendukung Monica

Jawaban:


18

Sistem bukti penjumlahan dasar, yang diperkenalkan dengan nama sanggahan Positivstellensatz oleh Grigoriev dan Vorobjov , adalah sistem bukti "statis" untuk menunjukkan bahwa seperangkat persamaan dan persamaan polinomial mana , tidak memiliki solusi umum dalam : sanggahan diberikan oleh polinomial dan sedemikian sehingga (Seseorang dapat bekerja dengan bidang yang benar-benar tertutup di tempatf 1 , ... , f k , h 1 , ... , h mR [ x 1 , ... , x n ] R n S g i e I

S={f1=0,...,fk=0,h10,...,hm0},
f1,...,fk,h1,...,hmR[x1,...,xn]RnSgsaya- 1 = k i = 1 g i f i + I { 1 , , m } j e 2 I , ji I h i . Resaya,j
()-1=saya=1kgsayafsaya+saya{1,...,m}jesaya,j2sayasayahsaya.
R.) Positivstellensatz Stengle menjamin bahwa S memiliki penolakan jika dan hanya jika ia tidak memiliki solusi. Ukuran kompleksitas utama di sini adalah tingkat sanggahan, yang merupakan maksimum dari total derajat polinomial yang muncul di bawah tanda penjumlahan dalam () , yaitu, gsayafsaya dan esaya,j2sayasayahsaya .

Seperti biasa dengan sistem bukti aljabar, kita juga dapat menganggapnya sebagai sistem sanggahan untuk formula Boolean \ phi yang tidak memuaskan ϕdengan memasukkan dalam S aksioma xsaya2-xsaya untuk setiap variabel xsaya , dan terjemahan ϕ oleh ketidaksetaraan polinomial.

Lebih lanjut tentang sejarah dan pengembangan sistem SOS dapat ditemukan di http://arxiv.org/abs/1211.1958 .


1
Apakah ada buku standar?

1
Juga apakah ada penggunaan teori model di sini?

2
Laserre memiliki buku terbaru tentang aspek optimasi. "Pengantar Polinomial dan Optimalisasi Semi-Aljabar" diterbitkan oleh Cambridge University Press.
Chandra Chekuri

11

SOS dapat dianggap sebagai sistem bukti di mana garis-garis dalam bentuk mana adalah polinomial dalam variabel .hal(x)0hal(x)x

Aturan inferensi adalah:

  1. x2-x0
  2. x-x20
  3. hal(x)20
  4. hal(x)0hal(x)x0
  5. hal(x)0hal(x)(1-x)0
  6. hal1(x)0,,halm(x)0saya=1mcsayahalsaya(x)0 manac1,,cmR+

Perbedaan utama dari sistem sebelumnya adalah bahwa kita memiliki aturan untuk .hal(x)20

Ada koneksi bagus dengan pemrograman semidefinite dan algoritma aproksimasi.

Untuk informasi lebih lanjut, lihat pembicaraan Albert Atserias baru-baru ini di lokakarya BIRS. Theoretical Foundation of SAT Applied SAT Solving :


Apakah formulasi ini sama dengan Emil? Milik Anda "dinamis", dan karenanya memungkinkan untuk bukti seperti DAG, di mana Emil "statis", dan karenanya tampaknya sesuai dengan versi mirip pohon Anda. Jadi, tampaknya mereka berbeda sehubungan dengan kompleksitas (misalnya, tingkat, ukuran dalam hal jumlah monomial, dan jumlah garis). Apakah ini benar?
Iddo Tzameret

@Do, saya pikir Anda benar. Ukuran kompleksitas mungkin tidak sama. Albert menjelaskan dalam pidatonya dengan sangat singkat korespondensi untuk ukuran kompleksitas utama yang menarik jika saya ingat dengan benar, tetapi jika seseorang tertarik pada langkah-langkah lain maka ada kebutuhan untuk lebih berhati-hati dalam perumusan.
Kaveh

@Kaveh Saya mengajukan dua pertanyaan terkait jika Anda bisa membantu, (1) cstheory.stackexchange.com/questions/30930/… (2) cstheory.stackexchange.com/questions/30932/…
user6818
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.