Pada optimalitas algoritma Grover dengan probabilitas keberhasilan tinggi

Diketahui bahwa kompleksitas query quantum error terbatas dari fungsi adalah $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ . Sekarang pertanyaannya adalah bagaimana jika kita ingin algoritma quantum kami berhasil untuk setiap input dengan probabilitasdaripada biasa. Sekarang dalam halapa yang akan menjadi batas atas dan bawah yang sesuai? $\Theta(\sqrt{n})$ $1-\epsilon$ $2/3$ $\epsilon$

Segera bahwa kueri cukup untuk tugas ini dengan mengulangi algoritma Grover. Tetapi dari apa yang saya ingat ini sama sekali tidak optimal karena bahkan algoritma Grover biasa jika dijalankan dengan hati-hati, yaitu untuk jumlah iterasi yang sesuai, dapat mencapai sesuatu sepertihanya dengan $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$ $\epsilon=O(1/n)$ iterasi. Dan karenanya menggunakan yang satu itu bisa mendapatkan perbaikan untuk semua. Di sisi lain, saya tidak mengharapkan itu $O(\sqrt{n})$ $\epsilon$ menjadi jawaban yang tepat untuk sangat kecil's. $\Omega(\sqrt{n})$ $\epsilon$

Tapi saya tertarik untuk melihat apa yang bisa ditunjukkan oleh -dependent batas atas dan bawah untuk rentang yang berbeda terutama ketika sangat kecil katakan atau untuk besar . $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ $\epsilon=1/n^k$ $k$

(Untuk memberikan beberapa konteks, fenomena umum yang saya maksudkan adalah amplifikasi dalam konteks kompleksitas kueri kuantum.)

— Mohammad Bavarian
sumber

Makalah ini harus memberikan jawaban atas pertanyaan Anda: arxiv.org/abs/cs/9904019v2

— John Watrous

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

\frac{π}{4} \sqrt{N}

$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

o (1)

$o(1)$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

@MohammadBavarian: Saya pikir itu hanya dalam kasus di mana jumlah solusi diketahui (atau ada solusi unik).

— Robin Kothari

Demi kelengkapan, inilah jawabannya.

$Q_\epsilon(f)$ $\epsilon$ $f$ $\mathsf{OR}_n$ $n$ $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$ $\Theta(\sqrt{n})$

$\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

Ini mengikuti dari Batas untuk Algoritma Quantum Kesalahan Kecil dan Nol Kesalahan .

$f$ $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

Ini ditunjukkan dalam Catatan tentang algoritma kuantum dan tingkat minimal polinomial kesalahan epsilon untuk fungsi simetris .

— Robin Kothari
sumber