Apakah ada masalah yang mudah untuk grafik kubik tetapi sulit untuk grafik dengan derajat 3 maksimum?

Grafik kubik adalah grafik di mana setiap titik memiliki derajat 3. Mereka telah dipelajari secara ekstensif dan saya menyadari bahwa beberapa masalah NP-hard tetap NP-hard bahkan terbatas pada subkelas grafik kubik, tetapi beberapa yang lain lebih mudah. Superclass grafik kubik adalah kelas grafik dengan derajat maksimum . $\Delta \leq 3$

Apakah ada masalah yang dapat diselesaikan dalam waktu polinomial untuk grafik kubik tapi itu NP-keras untuk grafik dengan derajat maksimum ? $\Delta \leq 3$

graph-theory graph-algorithms np-hardness

— Vinicius dos Santos
sumber

Diturunkan jawaban yang menunjukkan mungkin ada kompleksitas yang berbeda (meskipun NP-Hard juga tidak): Menemukan adalah waktu konstan pada grafik kubik tetapi linear pada grafik dengan . :-)

δ

$\delta$

Δ \leq 3

$\Delta \le 3$

— William Macrae

Poin bagus. :-)

— Vinicius dos Santos

Untuk pilihan pengkodean yang buruk, ia bahkan bisa berupa -Bard ketika , tetapi akan jauh lebih berharga untuk menemukan masalah yang tidak bergantung pada pengkodean yang buruk, dan bahkan lebih baik jika masalah itu adalah well belajar satu.

N P

$NP$

Δ \leq 3

$\Delta \le 3$

— William Macrae

Untuk memperluas komentar William, ini adalah masalah buatan. Diberikan grafik , apakah urutan derajat , ditafsirkan sebagai pengkodean instance 3-SAT, merupakan contoh yang memuaskan? $G$ $G$

(Dengan asumsi pengkodean sedemikian rupa sehingga urutan semua-3 derajat mewakili tugas yang memuaskan untuk setiap .) :-)

n

$n$

— Neal Young

Lihat juga cstheory.stackexchange.com/questions/1215/... untuk inspirasi lebih lanjut (mis., Masalah yang sulit pada pohon max 3, tetapi sepele jika tidak ada simpul daun).

— Jukka Suomela

Ini yang wajar: pada input , tentukan apakah memiliki subgraph reguler yang terhubung dengan setidaknya edge. Untuk grafik 3-reguler, ini sepele, tetapi jika derajat maks adalah 3 dan input terhubung, bukan pohon, dan tidak teratur, maka subgraf terbesar seperti itu adalah siklus terpanjang, sehingga masalahnya adalah NP-complete. $(G,k)$ $G$ $k$

— David Eppstein
sumber

"... maka solusinya adalah siklus terpanjang atau pencocokan maksimum ...". Bagaimana klaim Anda bergantung pada k? Itu tidak benar untuk semua k.

— Tyson Williams

@Tyson, itu hanya perlu sulit untuk satu menjadi keras, kan? Misalnya, ambil . David, apakah Anda perlu menetapkan bahwa subgraph harus terhubung? (Kalau tidak, setiap penutup siklus (bukan hanya siklus Hamilton) akan memiliki tepi, dan menentukan keberadaan penutup siklus dalam )

k

$k$

k = n

$k=n$

n

$n$

P

$P$

— Neal Young

David, pencocokan maksimum (ukuran lebih besar dari 1) dalam G bukan subgraph yang terhubung dari G. Apakah Anda bermaksud mengatakan "... baik siklus terpanjang atau satu sisi, ..."?

— Tyson Williams

Baiklah baiklah Hari ini sepertinya bukan hari yang baik bagi saya untuk bersikap keras - mungkin terlalu banyak kalkun. Saya menambahkan beberapa bahasa untuk mengesampingkan kasus khusus ini.

— David Eppstein

@YininCao Karena grafik terhubung tetapi tidak teratur, tidak ada cara untuk memilih subgraf 3-reguler. Andaikan itu. Lalu ada titik yang tidak dipilih karena grafik tidak teratur. Karena grafik terhubung, simpul ini terhubung ke beberapa simpul 3-reguler yang dipilih. Tapi itu berarti ada simpul derajat 4, sebuah kontradiksi.

— Tyson Williams