Hasil Kompleksitas untuk Fungsi Rekursif Rendah-Elementer?

Penasaran dengan pertanyaan menarik Chris Pressey tentang fungsi dasar-rekursif , saya menjelajahi lebih banyak dan tidak dapat menemukan jawaban untuk pertanyaan ini di web.

The fungsi rekursif dasar sesuai dengan baik untuk hirarki eksponensial, . $\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$

Tampaknya langsung dari definisi bahwa masalah keputusan yang dapat ditentukan (term?) Oleh fungsi - fungsi yang lebih rendah harus terkandung dalam EXP, dan pada kenyataannya dalam DTIME ; fungsi-fungsi ini juga dibatasi pada string keluaran linear dalam panjang inputnya [1]. $(2^{O(n)})$

Tetapi di sisi lain, saya tidak melihat batas bawah yang jelas; pada pandangan pertama kelihatannya RENDAH-ELEMENTARY dapat dengan ketat mengandung NP, atau mungkin gagal mengandung beberapa masalah dalam P, atau kemungkinan besar beberapa kemungkinan yang belum saya bayangkan. Akan sangat keren jika RENDAH-ELEMENTARY = NP tapi saya kira itu terlalu banyak untuk diminta.

Jadi pertanyaan saya:

Apakah pemahaman saya sejauh ini benar?
Apa yang diketahui tentang kelas kompleksitas yang membatasi fungsi rekursif dasar yang lebih rendah?
(Bonus) Apakah kita memiliki karakterisasi kelas kompleksitas yang bagus saat membuat batasan lebih lanjut pada fungsi rekursif? Saya sedang berpikir secara khusus tentang pembatasan pada penjumlahan yang berhubungan dengan , yang menurut saya berjalan dalam waktu polinomial dan menghasilkan keluaran linier; atau penjumlahan dengan batas konstan, yang menurut saya dijalankan dalam waktu polinomial dan menghasilkan output panjang paling banyak . $\log(x)$ $n + O(1)$

[1]: Kami dapat menunjukkan (saya percaya) bahwa fungsi-fungsi dasar yang lebih rendah tunduk pada pembatasan ini dengan induksi struktural, seandainya fungsi memiliki kompleksitas dan output dari panjang bit pada input panjang . Ketika , membiarkan , setiap memiliki output dengan panjang , jadi memiliki - input panjang (dan karenanya -panjang output); kompleksitas komputasi semua s adalah dan adalah $h,g_1,\dots,g_m$ $2^{O(n)}$ $O(n)$ $n$ $f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ $n := \log x$ $g$ $O(n)$ $h$ $O(n)$ $O(n)$ $g$ $m2^{O(n)}$ $h$ $2^{O(n)}$ , jadi memiliki kompleksitas dan output dari panjang seperti yang diklaim. $f$ $2^{O(n)}$ $O(n)$

Ketika , memiliki output dengan panjang , sehingga nilai jumlah output adalah , sehingga jumlah mereka memiliki panjang . Kompleksitas penjumlahan nilai-nilai ini dibatasi oleh (jumlah penjumlahan) kali (kompleksitas setiap penambahan) memberikan , dan kompleksitas komputasi output dibatasi oleh (jumlah perhitungan) kali (kompleksitas masing-masing), memberikan . Jadi memiliki kompleksitas $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$ $g$ $O(n)$ $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ $O(n)$ $2^n$ $O(n)$ $2^{O(n)}$ $2^{n}$ $2^{O(n)}$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ dan output panjang seperti diklaim. $O(n)$

— usul
sumber

Artikel Wikipedia yang Anda tautkan menyatakan bahwa fungsi-fungsi dasar yang lebih rendah memiliki pertumbuhan polinomial (tetapi tidak memberikan referensi.) Menunjukkan bahwa masalah P-lengkap dapat atau tidak dapat diselesaikan dengan fungsi-fungsi dasar akan menjadi langkah yang baik untuk menjepitnya lebih jauh. Itu tidak, begitu saja, terlihat mustahil untuk mensimulasikan mesin Turing untuk n langkah - mungkin jumlah yang dibatasi sesuai dengan jumlah langkah dari jumlah terikat lain yang sesuai dengan setiap transisi negara?

— Chris Pressey

@ Chris - Dugaan saya adalah bahwa "pertumbuhan polinomial" mengacu pada jumlah bit dalam output yang tidak lebih dari linear dalam jumlah bit dalam input. Saya setuju bahwa simulasi tampaknya sangat masuk akal, dan tampaknya dapat dilakukan dalam waktu polinomial (tetapi mungkin perlu beberapa detail untuk memverifikasi ini!).

— usul

Maaf, bagian pertama itu mungkin tidak jelas, tetapi karena pada saat input nilai

output memiliki nilai paling banyak polinomial di

x

$x$

x

$x$

— usul

Mengenai pertanyaan 3: fungsi didefinisikan di varian dengan

-bounded penjumlahan semua dalam seragam kelas kompleksitas

. Dengan penjumlahan dibatasi konstan Anda mendapatkan subclass seragam

\log (x)

$\log(x)$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen

@Xoff Saya percaya semuanya ada pada penjumlahan: Kami menjumlahkan dari

hingga

, di mana (pada input

bit)

dapat memiliki ukuran

, jadi jumlah kami akan

kali ukuran dari masing-masing musim.

1

$1$

x

$x$

n

$n$

x

$x$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— usul

Mengenai (bonus) pertanyaan 3: fungsi didefinisikan dalam varian dengan penjumlahan -bounded semua dalam seragam kelas kompleksitas . Ini mengikuti dari konstruksi di Chandra, Stockmeyer dan Vishkin "Pengurangan kedalaman konstan", SIAM J. Comput. 13 (1984) menunjukkan bahwa jumlah jumlah bit masing-masing dapat dihitung oleh sirkuit kedalaman konstan ukuran poynomial dengan gerbang mayoritas. $\log(x)$ $\mathsf{TC}^0$ $n$ $n$

Dengan penjumlahan dibatasi konstan Anda mendapatkan subclass seragam . Penjumlahan dengan batas konstan dapat direduksi menjadi penambahan dan komposisi, dan penambahan dapat dihitung dengan sirkuit boolean kedalaman konstan menggunakan metode carry-lookahead. $\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen
sumber

"Fungsi dasar yang lebih rendah dalam EXP " benar. Mereka sebenarnya di DPSPACE ( n ); seperti dapat dilihat dari induksi struktural.
Ditunjukkan di sini [1] bahwa kepuasan Boolean SAT terletak pada level terendah E ₀ dari Hierarki Grzegorczyk, yaitu dengan rekursi terikat bukan penjumlahan terikat.

[1] Cristian Grozea: Predikat NP Computable di Level Paling Lemah dari Hierarki Grzegorczyck (sic!). Jurnal Automata, Bahasa dan Combinatorics 9 (2/3) : 269-279 (2004).

Ide dasarnya adalah untuk menyandikan rumus panjang biner yang diberikan n ke dalam bilangan bulat N dari nilai kira-kira eksponensial dalam n ; dan kemudian menyatakan keberadaan penugasan yang memuaskan dalam hal kuantifikasi yang dibatasi oleh kata N (bukan n ).

Metode ini tampaknya terbawa dari E ₀ ke Lower Elementary
(dan untuk menggeneralisasi dari SAT ke QBF _k untuk arbitrer tetapi tetap k ).

Ini tidak berarti E ₀ mengandung NP (atau bahkan P dalam hal ini), meskipun, karena perhitungan polytime dikenal untuk meninggalkan E ₂ .

— Martin Ziegler
sumber