Pertimbangkan pertanyaan ini diselesaikan. Saya tidak akan memilih jawaban terbaik karena mereka semua telah berkontribusi pada pemahaman saya tentang topik ini.
Saya tidak yakin manfaat apa yang kita miliki dengan secara formal mendefinisikan semantik logika predikat. Tetapi saya melihat nilai dalam memiliki kalkulus bukti formal. Maksud saya adalah bahwa kita tidak perlu semantik formal untuk membenarkan aturan inferensi kalkulus bukti.
Kita dapat mendefinisikan kalkulus yang meniru "hukum pemikiran", yaitu aturan inferensi yang telah digunakan oleh ahli matematika selama ratusan tahun untuk membuktikan teorema mereka. Kalkulus seperti itu sudah ada: deduksi alami. Maka kita akan mendefinisikan kalkulus ini menjadi sehat dan lengkap.
Ini dapat dibenarkan dengan menyadari bahwa semantik formal dari logika predikat hanyalah sebuah model. Ketepatan model hanya dapat dibenarkan secara intuitif. Dengan demikian, dengan menunjukkan bahwa deduksi alami baik dan lengkap dengan referensi ke semantik formal tidak menjadikan deduksi alami lebih "benar". Akan sama baiknya jika kita secara langsung membenarkan aturan pengurangan alami secara intuitif. Jalan memutar menggunakan semantik formal tidak memberi kita apa pun.
Kemudian, setelah deduksi alami didefinisikan sebagai suara dan lengkap, kita dapat menunjukkan kesehatan dan kelengkapan kalkuli lainnya dengan menunjukkan bahwa bukti yang mereka hasilkan dapat diterjemahkan ke deduksi alami dan sebaliknya.
Apakah refleksi saya di atas benar? Mengapa penting untuk membuktikan kesehatan dan kelengkapan kalkulus bukti dengan merujuk pada semantik formal?