Apa kompleksitas ruang penghitungan nilai Eigen?

Saya mencari makalah survei atau buku yang membahas hasil tentang kompleksitas ruang dari operasi aljabar linear umum seperti peringkat matriks, perhitungan nilai eigen, dll. Saya menekankan bagian "kompleksitas ruang" yang berarti kompleksitas ruang kerja, daripada kompleksitas waktu karena itu lebih mudah untuk melacak hasil waktu. Saya menghargai referensi apa pun dalam masalah ini.

Terima kasih.

linear-algebra space-complexity

— gil
sumber

Dugaan saya adalah bahwa kompleksitas selalu paling linear (misalnya

untuk

matriks). Apakah Anda tertarik dengan "ruang total" atau "ruang kerja"?

O (n m)

$O(nm)$

n \times m

$n\times m$

— Yuval Filmus

saya seharusnya menyebutkan bahwa saya tertarik pada ruang kerja.

— gil

Saya yakin itu

untuk

matriks. Alasan dasarnya adalah bahwa saya tahu dua metode yang berguna bagaimana menghitungnya dan keduanya kuadrat di ruang angkasa. Pertama adalah menghitung polinomial karakteristik (kuadratik) dan menemukan akarnya. Kedua adalah menggunakan beberapa metode perkiraan yang semuanya perlu untuk menyimpan matriks yang dimodifikasi (tapi saya tidak bisa menguraikan ini, sudah lama saya belajar aljabar linear numerik).

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

n \times n

$n\times n$

— yo '30

Untuk memperluas pada titik yang dibuat oleh @Yuval Filmus, kompleksitas ruang cukup sensitif terhadap model komputasi tertentu. Secara khusus, karena output adalah ukuran linier, orang dapat memainkan trik dengan menggunakan tape output sebagai ruang kerja kecuali model dengan jelas menentukan output tape hanya-tulis. Untuk menghindari masalah-masalah seperti itu, saya akan tergoda untuk mengubah kata-kata sebagai masalah keputusan (misalnya diberikan sebagai input tiga matriks, periksa apakah yang ketiga adalah produk dari dua yang pertama). Bisakah Anda menentukan model yang ada dalam pikiran Anda? (Juga, saya tidak mengetahui buku-buku tentang kompleksitas ruang, dan juga tidak menemukan survei yang berguna.)

— András Salamon

dalam hal @ AndrásSalamon, jadi versi keputusan yang berguna untuk kebutuhan saya bisa: adalah nilai eigen k'th lebih besar dari q. untuk integer k dan q rasional. Terima kasih.

— gil

Jawaban:

Versi keputusan banyak masalah umum dalam aljabar linier atas bilangan bulat (atau rasional) berada di kelas , lihat makalah $\mathsf{DET}$

Gerhard Buntrock, Carsten Damm, Ulrich Hertrampf, Christoph Meinel: Struktur dan Pentingnya Kelas Logspace-MOD. Teori Sistem Matematika 25 (3): 223-237 (1992)

terkandung dalam . $\mathsf{DET}$ $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

Menghitung nilai eigen sedikit lebih rumit:

1) Dalam , seseorang dapat menghitung koefisien dari polinomial karakteristik. $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

2) Kemudian Anda dapat menggunakan algoritma paralel dengan Reif dan Neff untuk menghitung perkiraan nilai eigen. Algoritme berjalan pada CREW-PRAM dalam waktu logaritmik dengan banyak prosesor secara polinomi, sehingga dapat disimulasikan dengan ruang poli-logaritmik. (Ini tidak secara eksplisit dinyatakan dalam makalah, tetapi PRAM mereka harus seragam log-ruang.) Ruang yang digunakan adalah polylogarithmic dalam ukuran matriks input dan presisi . Precision berarti Anda mendapatkan perkiraan hingga kesalahan aditif . $p$ $p$ $2^{-p}$

Ini adalah gabungan fungsi yang dapat dihitung dalam ruang poli-logaritmik. (Kaset output hanya untuk menulis dan oneway.)

C. Andrew Neff, John H. Reif: Algoritma Efisien untuk Masalah Roots Kompleks. J. Complexity 12 (2): 81-115 (1996)

— Markus Bläser
sumber

$log^2$ $NC^2$

— Lior Eldar
sumber