Game Ehrenfeucht-Fraïssé (Ajtai-Fagin sebenarnya) untuk bahasa reguler.

Immerman (Kompleksitas Deskriptif, 1999) menyajikan game EF untuk urutan kedua monadik eksistensial (game Ajtai-Fagin) di halaman 127. Karena MSO pada kata-kata setara dengan bahasa biasa, permainan dapat ditulis sebagai berikut. $\exists$

Sebuah bahasa adalah biasa jika dan hanya jika Delilah tidak memiliki strategi menang di game berikut: 1. Samson memilih , 2. Delilah lagi memilih , 3. Samson lagi memilih subset dari himpunan posisi di (yaitu $L \subseteq \{a, b\}^*$
$c, m \in \mathbb{N}$
$w \in L$
$c$ $C_1^w, \ldots, C_c^w$ $w$ $\{0, \ldots, |w|-1\}$ ),
4. Delilah chosses dan himpunan bagian dari himpunan posisi di , 5. Samson dan Delilah memainkan Turn permainan EF pada dan $v \not\in L$ $c$ $C_1^v, \ldots, C_c^v$ $v$
$m$ $(\mathfrak{S}(w), C_1^w, \ldots, C_c^w)$ , di manaadalah struktur yang terkait dengan kata, yaitu: dengan $(\mathfrak{S}(v), C_1^v, \ldots, C_c^v)$
$\mathfrak{S}(w)$ $w$

S (w) = ⟨ {0, \dots, | w | - 1}, S U C C, Q_{a}, Q_{b} ⟩

$\mathfrak{S}(w) = \langle \{0, \ldots, |w|-1\}, SUCC, Q_a, Q_b \rangle$

, dan

adalah predikat penerus biner.

Q_{l} = {p | w_{p} = l}

$Q_l = \{p \;|\; w_p = l\}$

S U C C

$SUCC$

Saya punya dua pertanyaan:
- Bagaimana seseorang menunjukkan bahwa tidak teratur, menggunakan argumen EF seperti ini, - Apakah lebih mudah / sulit untuk memainkan game-game itu (untuk menunjukkan non-keteraturan) ketika seseorang memiliki pemesanan daripada hubungan penerus? (Itu setara dalam MSO eksistensial). $\{a^nb^n \;|\; n \in \mathbb{N}\}$

lo.logic automata-theory descriptive-complexity

— Michaël Cadilhac
sumber

Kami akan memberikan strategi kemenangan untuk Delilah. Biarkan Samson memilih dan . Kemudian Delilah memilih untuk besar akan ditentukan kemudian. Mari Samson memilih subset nya yang kita melihat sebagai pewarna dari posisi dengan warna. Biarkan menunjukkan kata berwarna ini. Tujuan dari Delilah pada titik ini adalah untuk menemukan segmen $c$ $m$ $w = a^n b^n$ $n$ $C^w_1,\ldots,C^w_c$ $w$ $2^c$ $w'$ dari dengan properti berikut untuk dan akan dipilih nanti: $w'[i,\ldots,j]$ $w'$ $r$ $t$

(dengan demikian segmen tersebut menjadi bagian pertama dari ), $0 \leq i \leq j \leq n$ $w'$
yang -neighborhoods (lingkungan dari jari-jari ) dari dan di isomorfik, $r$ $r$ $i$ $j$ $w'$
untuk setiap , lokal dari di muncul sebagai -lokasi dari setidaknya posisi lain dari . $k \in [i,\ldots,j]$ $r$ $k$ $w'$ $r$ $t$ $w'$

Jika dia berhasil melakukan itu, maka dia akan memilih kata warnanya menjadi Jika adalah -word yang mendasari , itu akan mengikuti

v^{'} = w^{'} [0, \dots, i - 1] w^{'} [i, \dots, j]^{2} w^{'} [j + 1, \dots, 2 n - 1] .

$v' = w'[0,\ldots,i-1] w'[i,\ldots,j]^2 w'[j+1,\ldots,2n-1].$

v

$v$

a, b

${a,b}$

v^{'}

$v'$

v

$v$ tidak milik

(karena kita dipompa segmen non-kosong dari

's), dan Delilah memiliki strategi menang dalam

Turn permainan EF pada

dan

(ini mengikuti dari Hanf Teorema jika

dan

adalah cukup besar sehubungan dengan

dan

; lihat Teorema 1.4.1 dalam buku Ebinghaus dan Flum "Teori Model Hingga").

L

$L$

a

$a$

m

$m$

w^{'}

$w'$

v^{'}

$v'$

r

$r$

t

$t$

c

$c$

m

$m$

$n$ $c$ $m$ $r$ $t$ $w'[i,\ldots,j]$ $r$

Ini berfungsi untuk struktur penerus. Dengan urutan linear, ini akan sedikit lebih sulit, tetapi saya tidak terlalu memikirkannya.

Perhatikan bahwa, tidak mengherankan, argumen ini terlihat seperti argumen "memompa" di automata. Namun, ini tidak sebodoh hanya menerjemahkan formula ke otomat. Saya pikir ini dianggap sebagai argumen model-teoretis.

— Slimton
sumber

Bukankah jawaban saya meyakinkan Anda?

— slimton

Ups, maaf, tentu saja. Meskipun aku akan benar-benar tertarik untuk melihat apa yang akan terjadi dengan tatanan linier (dan dengan demikian tanpa lokalitas Hanf). Terima kasih atas jawaban itu!

— Michaël Cadilhac