Apa definisi yang benar dari

Seperti judulnya, apa definisi yang benar dari -tree? Ada beberapa kertas yang berbicara tentang k -trees dan parsial k -trees sebagai definisi alternatif untuk grafik dengan treewidth dibatasi, dan saya telah melihat banyak definisi yang tampaknya tidak benar. Misalnya, setidaknya satu tempat mendefinisikan k -trees sebagai berikut:$k$$k$$k$$k$

Grafik disebut -tree jika dan hanya jika G adalah grafik lengkap dengan k simpul, atau G memiliki simpul v dengan derajat k - 1 sehingga G ∖ v adalah k -tree. Parsial k -tree adalah setiap subgraph dari k -tree.$k$$G$$k$$G$$v$$k − 1$$G \setminus v$$k$$k$$k$

Menurut definisi ini, seseorang dapat membuat grafik berikut:

1. Mulailah dengan tepi , 2- pohon.$(v_1, v_2)$$2$
2. Untuk , buat simpul v i dan buat berdekatan dengan v i - 1 dan v i - 2 .$i=1\ldots n$$v_i$$v_{i-1}$$v_{i-2}$

Melakukan ini akan membuat strip kotak dengan diagonal. Demikian pula, kita dapat mulai membuat pita dari bujur sangkar pertama dengan arah orthogonal ke pita di atas. Kemudian, kita akan memiliki baris pertama dan kolom pertama dari n × n jaringan. Mengisi kisi mudah dengan membuat simpul dan menyatukannya dengan simpul di atas dan ke kiri.$n$$n \times n$

Hasil akhirnya adalah grafik yang berisi grid, yang, pada dasarnya, diketahui dari treewidth n .$n\times n$$n$

Definisi -trees yang benar harus sebagai berikut:$k$

Grafik disebut -tree jika dan hanya jika salah satu G adalah grafik lengkap dengan k simpul, atau G memiliki simpul v dengan derajat k - 1 sedemikian rupa sehingga tetangga $k$$G$$k$$G$$v$$k-1$$v$ bentuk sebuah -clique, dan G v adalah k -tree.$k$$G \ v$$k$

Kemudian, grafik seperti kotak yang dijelaskan di atas tidak dapat dibuat.

Apakah saya benar?

Saya pada dasarnya setuju dengan Anda, hanya dengan sedikit modifikasi:

Grafik $G$ adalah $k$ -tree jika dan hanya jika $G$ adalah grafik lengkap dengan $k+1$ simpul, atau $G$ memiliki simpul $v$ sehingga lingkungan (terbuka) $v$ membentuk $k$ -clique, dan $G - v$ adalah sebuah $k$ pohon.

Dengan kata lain, $v$ harus memiliki derajat $k$ , bukan $k-1$ dalam definisi Anda.

Saya pribadi lebih suka definisi dari bawah ke atas, tetapi ini hanya masalah selera:

• Grafik lengkap pada simpul $k+1$ adalah $k$ -tree.
• Sebuah $k$ -tree $G$ dengan $n+1$ simpul ( $n\ge k+1$ ) dapat dibangun dari $k$ -tree $H$ dengan $n$ simpul dengan menambahkan simpul berdekatan dengan $k$ simpul yang membentuk $k$ -clique di $H$ .
• Tidak ada grafik lain yang merupakan $k$ -trees.

Definisi ini adalah versi definisi yang sedikit dimodifikasi dari catatan kuliah Pinar Heggernes .