Misalkan kita mengendurkan masalah penghitungan pewarnaan yang tepat dengan menghitung pewarnaan berbobot sebagai berikut: setiap pewarnaan yang tepat mendapat bobot 1 dan setiap pewarnaan yang tidak tepat mendapatkan bobot mana adalah konstan dan adalah jumlah tepi dengan titik akhir berwarna sama. Ketika pergi ke 0, ini mengurangi untuk menghitung pewarnaan yang tepat yang sulit untuk banyak grafik. Ketika c adalah 1, setiap pewarnaan mendapat bobot yang sama dan masalahnya sepele. Ketika matriks adjacency dari grafik dikalikan dengan memiliki radius spektral di bawah c v c - log ( c ) / 2 1 - ϵ, jumlah ini dapat diperkirakan oleh penyebaran keyakinan dengan jaminan konvergensi, sehingga mudah dalam praktiknya. Secara teori juga mudah karena pohon perhitungan tertentu menunjukkan pembusukan korelasi dan karenanya memungkinkan algoritma waktu polinomial untuk perkiraan yang dijamin - Tetali, (2007)
Pertanyaan saya adalah - properti grafik apa yang membuat masalah ini sulit untuk algoritma lokal? Sulit dalam arti bahwa hanya sejumlah kecil dapat diatasi.
Sunting 09/23 : Sejauh ini saya menemukan dua algoritma pendekatan polinomial deterministik untuk kelas masalah ini (turunan dari makalah STOC2006 Weitz dan pendekatan "ekspansi rongga" Gamarnik untuk perkiraan penghitungan), dan kedua pendekatan bergantung pada faktor percabangan dari self- menghindari jalan-jalan pada grafik. Jari-jari spektrum muncul karena itu merupakan batas atas pada faktor percabangan ini. Pertanyaannya kemudian - apakah ini perkiraan yang bagus? Bisakah kita memiliki urutan grafik di mana faktor percabangan dari jalan-jalan yang menghindari diri sendiri dibatasi, sementara faktor percabangan dari jalan-jalan biasa tumbuh tanpa terikat?
Sunting 10/06 : Makalah ini oleh Allan Sly (FOCS 2010) tampaknya relevan ... hasilnya menunjukkan bahwa faktor percabangan dari pohon tak berujung berjalan menghindari secara tepat menangkap titik di mana penghitungan menjadi sulit.
Sunting 10/31 : Dugaan Alan Sokal ( hal.42 dari "Polinomia Tutte multivariat" ) bahwa ada batas atas pada radius daerah bebas nol dari polinomial kromatik yang linier dalam hal aliran maxmax (aliran st maksimum melewati semua pasangan s, t). Ini tampaknya relevan karena korelasi jarak jauh muncul ketika jumlah pewarnaan yang tepat mendekati 0.