Menemukan pasangan terdekat antara dua set poin di hypercube

Diberikan dua himpunan bagian dari hypercube dimensional (yaitu, ), saya mencari algoritma yang mengambil titik pada jarak hamming (atau - jarak pada hypercube) minimal. Algoritma naif yang memeriksa hanya setiap pasangan membutuhkan $d$ $M, N \subseteq \{0,1\}^d$ $m\in M, n\in N$ $L_1$ $d_H(m,n)$ $|M|\cdot |N| \cdot d$ waktu, apakah ada hasil yang lebih baik diketahui?

Untuk kesederhanaan kita dapat mengasumsikan bahwa . $|M|=|N|=d$

cg.comp-geom

— HdM
sumber

hmmm. apakah ada motivasi / aplikasi lagi? curiga ada analog multidimensi dari algoritma euclidean / planar ini tetapi wikipedia tidak mengutip apa pun & belum pernah mendengarnya di tempat lain .... mungkin membantu untuk mencari algoritma untuk vektor n-dim. awal artikel tampaknya menegaskan hal itu dapat diselesaikan dalam

untuk dimensi yang lebih tinggi

tetapi tidak memberikan kutipan. mungkin di suatu tempat di referensi?

O (n \log n)

$O(n \log n)$

d > 2

$d>2$

— vzn

Argumen membagi dan menaklukkan bergantung pada ikatan pengemasan. Dalam dimensi yang lebih tinggi, memperkenalkan ini

faktor kekambuhan, tetapi ketergantungan pada

tetap sama. Jadi, jika Anda tidak keberatan dengan istilah eksponensial dalam

, Anda dapat menggunakan pendekatan ini. Jika Anda menginginkan sesuatu yang tepat, Anda tidak mungkin dapat melakukan yang lebih baik.

2^{d}

$2^d$

n

$n$

d

$d$

— Suresh Venkat

lihat juga pencarian tetangga terdekat

— vzn

Ini sepertinya tidak mungkin. Pikirkan tentang n + m string acak pada hypercube. Entah bagaimana jarak hamming masing-masing pasangan kira-kira d / 2, dan Anda harus memeriksa semua pasangan untuk menemukan pasangan terdekat.

— Sariel Har-Peled

@Sariel Har-Peled: Seperti yang ditulis Suresh, masalahnya dapat diselesaikan dalam waktu O (n log n) (di mana n = maks {| M |, | N |}) untuk konstanta apa pun d. Karena itu, "Anda harus memeriksa semua pasangan untuk menemukan pasangan terdekat" tidak terdengar benar bagi saya.

— Tsuyoshi Ito

$|M|=|N|=d$ $M$ $X$ $N$ $Y$ $Y$ $Z=XY$ $z_{i,j}$ $i$ $M$ $j$ $N$ $O(d^{2.3727})$ $O(d^{2.3726999999})$

Anda bisa mendapatkan efek yang sama jika matriksnya tidak kotak. Saya pikir Uri Zwick memiliki makalah tentang perkalian matriks cepat dalam kasus ini.

$O(|M| * |N|)$ $d$

— Sariel Har-Peled
sumber

Great ditemukan. Pada catatan lain, seorang rekan saya menemukan makalah ini: toc.cse.iitk.ac.in/articles/v008a014/v008a014.pdf dan hanya sekarang saya menyadari bahwa itu (juga) ditulis oleh Anda. Halaman 17+ sangat menarik ..

— HdM

Iya. Terlihat akrab - tetapi perhatikan bahwa ini perkiraan - Suresh meminta hasil yang tepat ...

— Sariel Har-Peled