Teorema Schaefer dan CSP dengan lebar tidak terbatas

Teorema dikotomi Schaefer menunjukkan bahwa setiap masalah CSP di atas dapat dipecahkan dalam waktu polinomial atau NP-complete. Ini hanya berlaku untuk masalah CSP lebar terikat, tidak termasuk SAT dan Horn-SAT, misalnya. Masalah umum CSP dengan lebar tidak terbatas mungkin sangat sulit (bahkan tidak dapat dihitung), jadi mari kita batasi diri kita untuk masalah yang "alami" dan ada di NP.$\{0,1\}$

Mengingat masalah CSP dengan lebar tidak terbatas, untuk setiap , kita dapat melihat batasan masalah untuk klausa lebar hingga k . Teorema Schaefer sekarang berlaku, dan masalah yang dibatasi adalah dalam P atau NP-complete. Jika untuk beberapa k , masalah k- restricted adalah NP-complete, maka begitu juga masalah unrestricted. Situasi menjadi kurang jelas ketika untuk semua k , masalah k- dibatasi pada P.$k$$k$$k$$k$$k$$k$

Teorema dikotomi Schaefer bergantung pada empat (atau lebih) algoritma berbeda yang menyelesaikan semua kasus mudah. Misalkan untuk masalah CSP yang diberikan, masalah dibatasi selalu dipecahkan oleh algoritma A. Mungkin kasus bahwa algoritma A dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang tidak dibatasi juga. Atau mungkin algoritme A bukan waktu polinomial dalam kasus yang tidak dibatasi, dan kemudian kita tidak tahu tentang kekerasan masalah.$k$

Apakah masalah seperti ini sudah dipertimbangkan? Apakah ada contoh di mana kita tiba di tempat "bodoh"?

Saya mengklaim bahwa untuk "CSP Boolean alami," jika versi k- dibatasi dalam P untuk setiap k , maka versi tidak dibatasi juga dalam P. Saya akan mendefinisikan "CSP Boolean alami" di bawah ini.

Teorema Schaefer menyatakan bahwa Boolean CSP pada himpunan hubungan S yang terbatas ada di P jika setidaknya satu dari kondisi berikut ini terpenuhi dan itu adalah NP-lengkap jika tidak ada satupun yang terpenuhi:

1. Setiap relasi dalam S (kecuali untuk konstanta 0) dipenuhi dengan menetapkan 1 untuk semua variabelnya.
2. Setiap relasi dalam S (kecuali untuk konstanta 0) dipenuhi dengan menetapkan 0 untuk semua variabelnya.
3. Setiap relasi dalam S sama dengan rumus 2-CNF.
4. Setiap relasi dalam S sama dengan rumus Klausa Klausa.
5. Setiap relasi dalam S sama dengan rumus klausa dua klausa. (“Formula klausa dual-klausa” berarti formula CNF di mana setiap klausa berisi paling banyak satu literal positif.)
6. Setiap relasi dalam S sama dengan konjungsi klausa affine.

Sekarang asumsikan P ≠ NP, dan pertimbangkan kasus di mana S tidak terbatas. Jika versi k- dibatasi dalam P untuk setiap k , maka menurut teorema Schaefer, setiap subset terbatas S memenuhi setidaknya satu dari enam kondisi di atas, dan ini berarti bahwa seluruh set S memenuhi setidaknya satu dari enam kondisi. Apakah ini berarti bahwa CSP ini tanpa batasan arity juga ada di P? Belum.

Ketika S tidak terbatas, kita harus menentukan bagaimana setiap klausa dalam rumus input diberikan. Kami berasumsi bahwa ada beberapa pemetaan surjective dari {0,1} ^* untuk S , yang menentukan encoding dari hubungan di S . Boolean CSP ditentukan dengan memberikan S dan fungsi enkode ini.

Perhatikan bahwa dalam masing-masing kasus 3, 4, 5, dan 6 di atas, ada cara alami untuk mewakili hubungan yang memuaskan kondisi: rumus 2-CNF dalam kasus 3, rumus klausa Horn dalam kasus 4, dan seterusnya. Bahkan jika suatu relasi setara dengan (katakanlah) formula 2-CNF, tidak ada jaminan apriori bahwa pengkodeannya memberikan akses mudah ke formula 2-CNF yang setara dengan itu.

Sekarang kami mengatakan bahwa Boolean CSP alami ketika fungsi penyandiannya memenuhi berikut:

• Diberikan penyandian relasi dan penugasan ke semua variabelnya, apakah relasi terpenuhi atau tidak dapat dihitung dalam waktu polinomial. (Catatan: Ini memastikan bahwa CSP yang dimaksud selalu dalam NP.)
• Diberikan pengkodean relasi yang memenuhi kondisi 3, 4, 5, atau 6, representasi alaminya sebagaimana ditentukan di atas dapat dihitung dalam waktu polinomial.

Maka mudah untuk melihat bahwa jika S memenuhi salah satu dari enam kondisi di atas dan pengkodean untuk S memenuhi kondisi "alami" ini, maka kita dapat menerapkan algoritma yang sesuai. Klaim yang saya nyatakan di awal dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan kasus P = NP dan kasus P ≠ NP.