Secara asimptotik, berapa banyak permutasi


17

Pertimbangkan permutasi dari [ 1 .. n ] . Inversi didefinisikan sebagai pasangan ( i , j ) dari indeks sedemikian rupa sehingga saya < j dan σ ( i ) > σ ( j ) .σ[1..n](i,j)i<jσ(i)>σ(j)

Tetapkan untuk menjadi jumlah permutasi [ 1 .. n ] dengan paling banyak k inversi.Ak[1..n]k

Pertanyaan: Apa terikat ketat asimptotik untuk ?Ak

Pertanyaan terkait diajukan sebelumnya: Jumlah permutasi yang memiliki jarak Kendall-Tau yang sama

Tetapi pertanyaan di atas adalah mengenai komputasi . Ia dapat dihitung menggunakan pemrograman dinamis, karena ia memenuhi relasi perulangan yang ditunjukkan di sini: /programming/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-least-n-bubble -sort-swapAk

Jumlah permutasi dengan inversi k yang tepat juga telah dipelajari dan dapat dinyatakan sebagai fungsi pembangkit: http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversionsk

Tetapi saya tidak dapat menemukan formula bentuk tertutup atau ikatan asimptotik.


2
Jika Anda memiliki polinomial pembangkit untuk suatu urutan, Anda dapat memperoleh polinomial pembangkit untuk jumlah awalan hanya dengan mengalikan polinomial dengan . Dalam kasus Anda, Anda akan menggunakan polinomial yang ditautkan dengan yang menghitung inversi persis-k. 1/(1x)
Suresh Venkat


1
@ SureshVenkat Terima kasih atas tipnya. Tapi aku masih akan terjebak dengan mencari koefisien dalam benar-benar rumit polinomial dalam hal n dan k dan saya tidak melihat bagaimana melakukan hal itu. xknk
Vinayak Pathak

3
untuk mendapatkan koefisien , mengambil k -th turunan dari polinomial menghasilkan dan mengevaluasi di x = 0 . xkkx=0
Sasho Nikolov

Jawaban:


12

Menurut Wikipedia, jumlah permutasi dalam dengan k inversi yang tepat adalah koefisien X k dalam 1 ( 1 + X ) ( 1 + X + X 2 ) ( 1 + X + + X n - 1 ) . Nyatakan ini dengan c ( n , k ) . Ini menunjukkan bahwa c ( n + 1 ,SnkXk

1(1+X)(1+X+X2)(1+X++Xn1).
c(n,k) Jadi jumlah permutasi dalam S n dengan paling banyakinversi k sama dengan jumlah permutasi dalam S n + 1 denganinversi k yang tepat. Ini memiliki bukti kombinatorial rapi juga (petunjuk: take π S n + 1 dan menghapus n + 1 ).
c(n+1,k)=l=0kc(n,kl).
SnkSn+1kπSn+1n+1

XkXmm>kn>kc(n,k)Xk

1(1+X)(1+X++Xk1)(1+X++Xk+)nk=1(1+X)(1+X++Xk1)1(1X)nk=1(1+X)(1+X++Xk1)t=0(t+nk1t)Xt.
c(n,k)=t=0k(n+tk1t)c(k,kt),n>k.

kt=k

c(n,k)=(n1k)+Ok(nk1)=1k!nk+Ok(nk1).
c(n+1,k)

k(n+tk1t)=(n+tk1nk1)tt=0kc(k,t)k!

(n1k)c(n,k)k!(n1k).

c(n,k)k!(n1k)ekk+1/2ek(e(n1)/k)kc(n,k)ek(n1)k
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.