Bagaimana kita bisa mengekspresikan " " sebagai formula orde pertama? [Tutup]


9
  1. Bagaimana kita dapat mengekspresikan " " sebagai formula orde pertama?P=PSPACE
  2. Level hirarki aritmatika mana yang berisi rumus ini (dan apa level minimum hierarki yang diketahui saat ini yang mengandungnya)?

Untuk referensi, lihat posting blog ini oleh Lipton .



1
Mungkin, Anda dapat menggunakan bukti Lipton yang sama menggunakan masalah PSPACE-complete bukan SAT dalam definisi dan Anda mendapatkan bahwa P P S P A C E dapat dinyatakan sebagai x , cψ(x,c,y)PPSPACE yaitukalimat Π 2 . Tapi IMO itu semacam "retas" ... :-)x,cyψ(x,c,y)Π2
Marzio De Biasi

3
Saya berani bertaruh hidup saya dan semua harta duniawi yang dapat Anda wakili sebagai "Salah". Artinya, itu dapat diungkapkan bahkan dalam logika proposisional. :)
Shaull

3
@Shaull. Tentu. Dan begitu Anda menunjukkan bahwa ini adalah representasi yang benar, Anda akan dapat membeli semua barang yang Anda butuhkan. Tolong jangan protes bahwa ruang komentar terlalu pendek untuk berisi bukti.
Vijay D

3
@ VijayD - Saya akan mengambil umpan: Saya telah menemukan bukti yang benar-benar indah, dan ruang komentar sudah cukup. Tapi saya tidak suka font ...
Shaull

Jawaban:


25

Pertama, saya ingin membahas komentar untuk pertanyaan, di mana disarankan bahwa "false" menyatakan karena pernyataan itu salah. Walaupun ini mungkin lelucon yang bagus, sebenarnya sangat berbahaya untuk berpikir seperti ini. Ketika kita bertanya bagaimana mengekspresikan kalimat tertentu dalam sistem formal tertentu, kita tidak berbicara tentang nilai-nilai kebenaran. Jika ya, maka ketika seseorang bertanya, "Bagaimana saya menuliskan fakta bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga?" kita bisa menjawab "3 + 3 = 6", tetapi ini jelas tidak akan berhasil. Untuk alasan yang sama "false" bukan jawaban yang valid untuk "P=PSPACEP=PSPACE? ". Saya pikir Frege dan Russell berusaha keras untuk mengajari kami pelajaran itu. Oke, sekarang jawabannya.

Mari saya tunjukkan bagaimana mengekspresikan , arah lain mirip, dan kemudian Anda dapat menempatkan mereka bersama-sama dalam hubungannya untuk mendapatkan P S P A C E = P . Dalam kasus apa pun, untuk keperluan Anda mungkin cukup untuk mengekspresikan P S P A C E P , tergantung pada apa yang Anda lakukan.PSPACEPPSPACE=PPSPACEP

Dengan menggunakan teknik yang mirip dengan yang ada dalam konstruksi predikat Kleene T , kita dapat membuat rumus kuantifer terikat (yang dengan demikian berada di Σ 0 0 = Π 0 0 ) mengatakan "ketika kita menjalankan mesin yang dikodekan oleh k dan mengikat penggunaan ruangnya ke | n | m , mesin menerima input n ." Di sini | n |acceptspace(k,m,n)Σ00=Π00k|n|mn|n|adalah panjang . Cara informal untuk melihat bahwa formula seperti itu ada adalah ini: mengingat k , m , dan n kita dapat menghitung ikatan rekursif primitif pada berapa banyak waktu dan berapa banyak ruang yang akan kita butuhkan (yaitu, paling banyak | n | m ruang dan paling banyak 2 | n | m waktu). Kami kemudian hanya mencari melalui semua jejak eksekusi yang mungkin ada dalam batas yang dikomputasi - pencarian semacam itu agak tidak efisien, tetapi itu adalah rekursif primitif dan jadi kami dapat mengekspresikannya sebagai rumus yang dibatasi.nkmn|n|m2|n|m

Ada rumus yang sama di mana waktu berjalan terikat oleh | n | m .accepttime(k,m,n)|n|m

Sekarang perhatikan rumusnya: Dikatakan bahwa untuk setiap mesin k

k,m.k,m.n.acceptspace(k,m,n)accepttime(k,m,n).
kyang menggunakan paling banyak ruang ada mesin k yang menggunakan paling banyak | | n | m sehingga kedua mesin menerima persis n yang sama . Dengan kata lain, formula mengatakan P S P A C E P . Formula ini adalah Π 0 3 .|n|mk|n|mnPSPACEPΠ30

Kita dapat meningkatkan ini jika kita ingin menyatakan sebagai gantinya kalimat " dalam polytime", yang seharusnya cukup baik untuk sebagian besar aplikasi, karena TQBF adalah PSPACE lengkap dan jadi dalam polytime setara dengan P S P A C E P . Biarkan k 0 menjadi (kode) mesin yang mengenali TQBF dalam ruang | n | m 0 . Kemudian " T Q B F P " dapat dinyatakan sebagai k , m .TQBFPSPACEPk0|n|m0TQBFP Formula ini hanya Σ 0 2 . Jika saya adalah ahli teori kompleksitas, saya akan tahu apakah mungkin untuk melakukan yang lebih baik lagi (tapi saya ragu).

k,m.n.acceptspace(k0,m0,n)accepttime(k,m,n).
Σ20

paragraf pertama Anda hampir seperti bentuk logis, tekstual dari ini: xkcd.com/169
Vijay D

21

Andrej telah menjelaskan bahwa dapat ditulis sebagai- Σ 0 2- sense. Izinkan saya menyebutkan bahwa klasifikasi ini optimal dalam arti bahwa jika pernyataan tersebut setara dengan- Π 0 2- kalimat, maka fakta ini tidak relativize. Lebih tepatnya, himpunan firman A sehingga P A = P S P A C E A adalah didefinisikan oleh Σ 0 2 -formula dengan orde kedua variabel bebas AP=PSPACEΣ20Π20APA=PSPACEAΣ20A, Tetapi tidak didefinisikan oleh -formula. Argumen tersebut diuraikan (untuk P = N P , tetapi berfungsi sama untuk P S P A C E ) dalam komentar di /mathpro/57348 . (Faktanya, seseorang dapat menunjukkan dengan elaborasi gagasan bahwa himpunannya Σ 0 2- lengkap dalam arti yang sesuai.)Π20P=NPPSPACEΣ20

EDIT: Bukti topologis yang diberikan dalam komentar tertaut pendek, tetapi mungkin tampak rumit. Berikut ini adalah argumen pemaksaan langsung.

dapat ditulis sebagai Π 0 2- formula dari bentuk ϕ ( A ) = xPAPSPACEAΠ20 , di mana θ adalah Δ 0 0 . Asumsikan untuk kontradiksi bahwa P A = P S P A C E A juga setara dengan Π 0 2 -formula ψ ( A ) = xϕ(A)=xyθ(A,x,y)θΔ00PA=PSPACEAΠ20 . Fix nubuat B , C sehingga P BP S P A C E B dan P C = P S P A C E C .ψ(A)=xzη(A,x,z)BCPBPSPACEBPC=PSPACEC

Karena , ada y 0 sedemikian rupa sehingga θ ( B , 0 , y 0 ) . Namun, θ adalah rumus terbatas, maka evaluasi nilai kebenaran θ ( B , 0 , y 0 ) hanya menggunakan bagian terbatas dari oracle. Dengan demikian, ada bagian hingga b 0 dari B sehingga θ ( A , 0 , y 0 ) untuk setiap oracleϕ(B)y0θ(B,0,y0)θθ(B,0,y0)b0Bθ(A,0,y0) memperpanjang b 0 .Ab0

Misalkan menunjukkan oracle yang memanjang b 0 , dan setuju dengan C di mana b 0 tidak ditentukan. Karena P A dan P S P A C E A tidak terpengaruh oleh perubahan yang terbatas dalam oracle, kita memiliki ψ ( C [ b 0 ] ) . Dengan argumen yang sama seperti di atas, ada z 0 dan bagian hingga c 0 dari C [ b 0 ]C[b0]b0Cb0PAPSPACEAψ(C[b0])z0c0C[b0]sedemikian rupa sehingga untuk setiap A yang meluas c 0 . Kita dapat mengasumsikan bahwa c 0 meluas b 0 .η(A,0,z0)Ac0c0b0

Melanjutkan dengan cara yang sama, kami membangun urutan angka tak terhingga , z 0 , z 1 , z 2 , ... , dan oracle parsial terbatas b 0c 0b 1c 1b 2 sedemikian rupay0,y1,y2,z0,z1,z2,b0c0b1c1b2

  1. untuk setiap oracle A memanjang b n ,θ(A,n,yn)Abn

  2. untuk setiap oracle A yang meluas c n .η(A,n,zn)Acn

Sekarang, misalkan menjadi peramal yang mencakup semua b n dan c n . Kemudian 1 dan 2 menyiratkan bahwa ϕ ( A ) dan ψ ( A ) secara bersamaan berlaku, yang bertentangan dengan asumsi bahwa mereka saling melengkapi.Abncnϕ(A)ψ(A)


3
Sedih karena jawaban yang bagus untuk pertanyaan yang sekarang ditutup ...
arnab
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.