Formula 3-CNF yang membutuhkan lebar resolusi


13

Ingat bahwa lebar dari resolusi sanggahan dari formula CNF F adalah jumlah maksimal literal dalam klausul terjadi di R . Untuk setiap w , ada rumus yang tidak memuaskan F dalam 3-CNF st setiap resolusi resolusi F membutuhkan lebar setidaknya w .RFRwFFw

Saya membutuhkan contoh konkret dari formula yang tidak memuaskan dalam 3-CNF (sekecil dan sesederhana mungkin) yang tidak memiliki resolusi penolakan lebar 4.


Apakah Anda membutuhkan tepat lebar 5 atau setidaknya lebar 5? Dalam kasus terakhir saya kira beberapa klausa acak pada beberapa variabel akan dilakukan. Tidak terlalu bagus dan tidak terlalu kecil.
MassimoLauria

1
berpikir komputer / pencarian empiris yang relatif lurus akan menemukan ini atau mengesampingkannya. juga berpikir ada teori yang lebih umum / menarik yang belum dijelajahi bersembunyi di sini. lihat juga dalam bukti resolusi, apakah semua DAG mungkin? , mencari suara yang dibuka kembali jika Anda setuju =) pertanyaan terkait: untuk -SAT rumus, dimensi apa (s) resolusi DAG yang mungkin? m×n
vzn

Jan, kupikir Jacob seharusnya bisa menjawab ini dengan mudah. Omong-omong, apakah Anda ingin menggeneralisasikan pertanyaan sedikit dan bertanya tentang metode untuk menghasilkan 3-CNF dengan lebar resolusi yang diberikan?
Kaveh

Massimo, saya perlu contoh nyata yang bisa saya tulis dan jelaskan di papan tulis. Jadi klausa acak tidak akan berlaku.
Jan Johannsen

1
Saya berada di zona waktu yang salah sekarang untuk dapat berpikir dengan benar, tetapi mungkin formula Tseitin atas beberapa grafik yang sangat kecil (di mana Anda dapat memeriksa ekspansi dengan tangan) lakukan? Tetapi Anda benar-benar membutuhkan 3-CNF, bukan? Untuk 4-CNF saya mungkin akan bermain-main dengan kotak persegi panjang dengan dimensi yang sesuai dan melihat apa yang terjadi. Hanya beberapa pemikiran yang setengah matang ...
Jakob Nordstrom

Jawaban:


14

Contoh berikut berasal dari makalah yang memberikan karakterisasi kombinatorial lebar resolusi oleh Atserias dan Dalmau ( Jurnal , ECCC , salinan penulis ).

Teorema 2 dari makalah ini menyatakan bahwa, diberikan rumus CNF , resolusi penolakan lebar paling banyak k untuk F sama dengan strategi memenangkan Spoiler dalam permainan kerikil eksistensial ( k + 1 ) . Ingat bahwa permainan kerikil eksistensial dimainkan antara dua pemain bersaing, disebut Spoiler dan duplikator, dan posisi permainan yang tugas parsial ukuran domain paling k + 1 ke variabel F . Dalam game ( k + 1 ) -pebble, mulai dari tugas kosong, Spoiler ingin memalsukan klausa dari FFkF(k+1)k+1F(k+1)Fsambil mengingat paling banyak nilai b + pada satu waktu, dan Duplicator ingin mencegah Spoiler melakukan hal itu.k+1

Contohnya didasarkan pada (peniadaan) prinsip lubang pos.

Untuk setiap dan j { 1 , , n } , misalkan p i , j menjadi variabel proposisional yang berarti bahwa merpati i duduk di lubang j . Untuk setiap i { 1 , , n + 1 } dan j { 0 , , n } , biarkansaya{1,...,n+1}j{1,...,n}halsaya,jsayajsaya{1,...,n+1}j{0,...,n} menjadi variabel proposisional baru. Berikut 3 -CNF rumus E P i mengungkapkan bahwa merpati saya duduk di beberapa lubang: E P i¬ y i , 0n j = 1 ( y i , j - 1p i , j¬ y i , j ) y i , n .ysaya,j3EPsayasaya

EPsaya¬ysaya,0j=1n(ysaya,j-1halsaya,j¬ysaya,j)ysaya,n.
Akhirnya, rumus -CNF E P H P n + 1 n yang menyatakan negasi prinsip pigeonhole adalah gabungan dari semua E P i dan semua klausa H i , j k¬ p i , k¬ p j , k untuk i , j { 1 , , n + 1 } , i j dan3EPHPnn+1EPsayaHksaya,j¬halsaya,k¬halj,ksaya,j{1,...,n+1},sayaj .k{1,...,n}

Lemma 6 dari makalah ini memberikan bukti yang cukup singkat dan intuitif bahwa Spoiler tidak dapat memenangkan permainan kerikil di E P H P n + 1 n , maka E P H P n + 1 n tidak memiliki resolusi resolusi lebar yang paling n - 1 .nEPHPnn+1EPHPnn+1n-1

Makalah ini memiliki contoh lain dalam Lemma 9, berdasarkan prinsip urutan linier padat.

Mengingat bahwa penghitungan lebar minimum untuk sanggahan resolusi adalah EXPTIME-complete, dan terlebih lagi diperlukan waktu untuk menyatakan bahwa lebar minimum setidaknya k + 1 (lihat makalah Berkholz di FOCS atau arXiv ), mungkin sulit untuk memberikan contoh yang terbukti membutuhkan penyangkalan resolusi lebar?Ω(n(k-3)/12)k+1


2
EPHP56
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.