Bagaimana sebuah masalah bisa di NP, NP-hard dan bukan NP-complete?

Untuk waktu yang paling lama saya berpikir bahwa masalah adalah NP-lengkap jika keduanya (1) NP-hard dan (2) ada di NP.

Namun, dalam makalah terkenal "Metode ellipsoid dan konsekuensinya dalam optimasi kombinatorial" , para penulis mengklaim bahwa masalah bilangan kromatik fraksi milik NP dan NP-keras, namun tidak diketahui NP-lengkap. Pada halaman ketiga makalah ini, penulis menulis:

... kami mencatat bahwa masalah vertex-kemasan dari grafik adalah dalam arti setara dengan masalah nomor kromatik pecahan, dan komentar pada fenomena bahwa masalah yang terakhir ini adalah contoh dari masalah di yang merupakan -Hard tetapi (seperti untuk saat ini) tidak diketahui sebagai -complete. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Bagaimana ini mungkin? Apakah saya melewatkan detail halus dalam definisi NP-complete?

— Austin Buchanan
sumber

Tampaknya masalahnya adalah jenis pengurangan yang digunakan untuk masing-masing, dan mereka menggunakan yang berbeda: mereka mungkin berarti " -hard wrt Cook reduksi" dan " komplet pengurangan Karp reduksi Karp". $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Kadang-kadang orang menggunakan versi pengurangan Cook dari -newness karena ini berlaku untuk masalah komputasi yang lebih umum (bukan hanya masalah keputusan). Meskipun definisi asli dari kedua -hardness dan pengurangan Masak digunakan -completeness (polinomial-waktu Turing pengurangan) telah menjadi jarang menggunakan pengurangan Masak selama -completeness (kecuali dinyatakan secara eksplisit). Saya tidak ingat kertas baru yang telah digunakan -Lengkap berarti -Lengkap wrt pengurangan Masak. (Sebagai catatan masalah pertama yang harus terbukti $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ -Beras itu TAUT bukan SAT dan kelengkapan untuk SAT tersirat dalam bukti itu.)

Sekarang jika Anda melihat bagian 7 dari kertas, bagian bawah halaman 195, Anda akan melihat bahwa mereka berarti pengurangan wrt Turing -hardness. $\mathsf{NP}$

Jadi apa yang mereka maksud di sini adalah bahwa masalahnya adalah di , sulit untuk wrt pengurangan Cook, tetapi tidak diketahui menjadi sulit bagi wrt pengurangan Karp (polinomial-waktu banyak-satu pengurangan). $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

— Kaveh
sumber

Apakah maksud Anda DNF-Tautologi oleh Taut? Bukankah itu CoNP-lengkap? Karena CNF-Tautology itu sepele.

— Tayfun Bayar

@TayfunPay: Kemungkinan besar Tautologi untuk formula acak bukan hanya CNF atau DNF. Dan Co-NP-lengkap dan NP-lengkap adalah wrt Cook-reduksi yang sama, yang merupakan alasan Kaveh menyebutkan anekdot ini.

— frafl

@Tayfun, Cook membuktikannya untuk formula umum dan menggunakannya DNF-TAUT adalah akibat wajar di koran. Keduanya adalah reduksi NPW hard Cook.

— Kaveh

@frafl, "NP-complete" didefinisikan dalam makalah Karp tahun 1972 . Makalah Cook tahun 1971 mendefinisikan pengurangan Cook dan membuktikan bahwa TAUT adalah NP-hard wrt. Ini juga membuktikan bahwa sejumlah masalah setara dengan pengurangan Cook. Namun ketidakpatuhan NP tidak secara eksplisit dinyatakan dalam makalah asli.

— Kaveh