Apa perbedaan antara panah dan objek eksponensial dalam kategori tertutup kartesius?

Dalam Cartesian Tertutup Kategori ( CCC ), terdapat apa yang disebut benda eksponensial , ditulis . Ketika CCC dianggap sebagai model hanya-diketik kalkulus , sebuah objek eksponensial seperti mencirikan fungsi ruang dari jenis dengan jenis . Objek eksponensial diperkenalkan oleh panah yang disebut dan dihilangkan dengan panah yang disebut (yang sayangnya disebut $B^A$ $\lambda$ $B^A$ $A$ $B$ $curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$ $apply : C^B \times B \rightarrow C$ $eval$ dalam kebanyakan teks tentang teori kategori). Pertanyaan saya di sini adalah: apakah ada perbedaan antara objek eksponensial , dan panah ? $C^B$ $B \rightarrow C$

type-theory lambda-calculus ct.category-theory

— hari
sumber

Dalam kategori itu adalah objek eksponensial , tetapi dalam teori tipe mungkin disebut tipe eksponensial .

— Andrej Bauer

Ini bukan pertanyaan tingkat penelitian. Pindah ke pertukaran cs?

— Andrea Asperti

Satu internal dan lainnya eksternal .

Kategori terdiri dari objek dan morfisme. Ketika kita menulis kita berarti bahwa adalah morphism dari objek ke objek . Kami dapat mengumpulkan semua morfisme dari ke ke dalam satu set morfisme , yang disebut "hom-set". Set ini bukan objek dari , melainkan objek dari kategori set. $\mathcal{C}$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ $\mathcal{C}$

Sebaliknya, eksponensial adalah objek dalam . Ini adalah bagaimana " memikirkan hom-set-nya". Dengan demikian, harus dilengkapi dengan struktur apa pun yang dimiliki objek . $B^A$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $B^A$ $\mathcal{C}$

Sebagai contoh, mari kita perhatikan kategori ruang topologi. Kemudian adalah peta kontinu dari ke , dan adalah himpunan semua peta yang kontinu tersebut. Tetapi , jika ada, adalah ruang topologi! Anda dapat membuktikan bahwa poin dari adalah (dalam korespondensi bijective dengan) peta terus-menerus dari ke . Faktanya, ini berlaku secara umum: morfisme (yang merupakan "titik global ") berada dalam korespondensi bijektif dengan morfisme , karena $f : X \to Y$ $X$ $Y$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ $Y^X$ $Y^X$ $X$ $Y$ $1 \to B^A$ $B^A$ $A \to B$

H o m (1, B^{A}) ≅ H o m (1 \times A, B) ≅ H o m (A, B) .

$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$

Kadang-kadang kita mendapatkan ceroboh tentang menulis sebagai lawan . Faktanya, seringkali keduanya adalah sinonim, dengan pengertian bahwa dapat berarti "oh omong-omong di sini yang saya maksudkan notasi lainnya, jadi ini berarti adalah morfisme dari ke " Misalnya, ketika Anda menuliskan morfisme kari Anda harus menulis Jadi kita tidak bisa menyalahkan siapa pun karena bingung di sini. Batin digunakan dalam arti internal, dan bagian luar dalam eksternal. $B^A$ $A \to B$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

curry : C^{A \times B} \to {(C^{B})}^{A} .

$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$

\to

$\to$

Jika kita bekerja di cukup mengetikkan -calculus maka semuanya internal, sehingga untuk berbicara. Kami memiliki hanya mengetik penghakiman dasar " memiliki tipe ", ditulis sebagai . Karena di sini adalah tipe, dan tipe berhubungan dengan objek, maka kita jelas harus menginterupsi setiap eksponensial dan panah dalam dalam arti internal. Jadi, jika kita memahami sebagai penilaian mengetik dalam -calculus, semua panah adalah internal, jadi ini adalah sama dengan Saya berharap sekarang sudah jelas mengapa orang menggunakan $\lambda$ $t$ $B$ $t : B$ $B$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

λ

$\lambda$

curry : ((C^{B})^{A})^{C^{A \times B}} .

$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$

B^{A}

$B^A$ dan sebagai sinonim.

A \to B

$A \to B$

— Andrej Bauer
sumber

Terima kasih atas jawaban yang bagus, menghilangkan misteri sepenuhnya.

— hari

Memang! Penjelasan hebat!

— Uday Reddy

Jadi mana yang internal dan mana yang eksternal?

— CMCDragonkai