Kompleksitas satu-alternatif SMT

Saya mencari kompleksitas pemenuhan rumus atau dari rumus mana adalah rumus dari bentuk: Dimana adalah konstanta dalam , dan domain variabel juga . $\forall y_1, \dots,y_n, \exists x_1,\dots,x_m, \phi$ $\exists x_1,\dots,x_m \forall y_1, \dots,y_n,\phi$ $\phi$

ϕ := ϕ \land ϕ | \neg ϕ | ϕ \to ϕ | ψ

$\phi:= \phi \wedge\phi ~| ~\neg \phi ~| ~ \phi\to \phi~| ~\psi$

ψ := t > t | t = t

$\psi := t>t~| ~t=t$

t := t + t | x_{i} | y_{i} | c

$t:= t+t~| ~x_i~|~y_i ~| ~c$

c

$c$

N

$\mathbb{N}$

x_{i}, y_{i}

$x_i,y_i$

N

$\mathbb{N}$

Faktanya adalah atau . Apakah itu menyederhanakan kerumitan? $y_i$ $0$ $1$

Semua jawaban dengan referensi akan diterima dengan senang hati.

Terima kasih

cc.complexity-theory reference-request lo.logic

— sayang
sumber

Jika phi adalah Boolean, maka Anda berada di tingkat kedua hierarki polinomial karena saya dapat menyelesaikan masalah dengan mesin Turing non-deterministik menggunakan SAT solver sebagai oracle. Bukankah alasan yang sama bisa digunakan di sini?

— Mikolas

Sebagaimana dinyatakan dalam pertanyaan itu tampaknya bahkan tidak dapat dipastikan, karena itu termasuk masalah Hilberts 10 en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem

— Magnus Find

@MagnusFind Terima kasih, Anda benar. Tetapi sebenarnya saya tidak memiliki multiplikasi (diedit, maaf).

— wece

@ Mikolas pada tingkat kedua maksudmu atau ? Dalam tidak terlalu akrab dengan hierarki polinomial maaf.

Π_{2}

$\Pi_2$

Σ_{2}

$\Sigma_2$

— wece

Apakah Anda memiliki variabel bebas lain selain yang dikuantifikasi? Jika demikian, Anda harus menjelaskannya juga. Btw, pengamatan yang mudah tampaknya bahwa ini setidaknya sulit untuk tingkat ketiga hirarki polinomial bahkan jika Anda mengambil variabel terukur menjadi dan .

0

$0$

1

$1$

— Kaveh

Jawaban:

Pertanyaan kebenaran dalam Presburger Arithmetic dengan pergantian quantifier terbatas telah dijawab dengan cukup teliti oleh Reddy dan Loveland:

CR Reddy & DW Loveland: Presburger Arithmetic dengan Bounded Quantifier Alternation .

Makalah ini dapat ditemukan di sini (maaf untuk tautan jelek). Hasil utama mereka dinyatakan sebagai berikut:

Keanggotaan dalam (di mana adalah jumlah pergantian quantifier) dengan panjang dapat diputuskan dalam ruang dan dalam (deterministik) waktu Di mana dan adalah konstanta. $\mathrm{PA}(m)$ $m$ $n$
$2^{d n^{m + 4}}$ $2^{dn^{m+4}}$ $2^{2^{e n^{m + 4}}}$ $2^{2^{en^{m+4}}}$ $d$ $e$

Mengambil , ini tampaknya memberikan setidaknya batas atas pada apa yang Anda inginkan, dan saya menduga itu tidak jauh dari ketat, karena Anda memiliki rumus atom Presburger hampir penuh "di root". $m=2$

— cody
sumber

$m=1$ $n$

— Sylvain
sumber

Saya tidak tahu referensi untuk fragmen terkuantifikasi tetapi masalah Anda tidak sama dengan memutuskan fragmen aritmetika Presburger yang dipelajari dengan baik karena Anda memiliki koefisien satuan.

$x + c < y$ $x$ $y$ $c$

Dua teori mudah yang kombinasinya sulit. Pratt, 1977.

$x$ $y$

Memutuskan Rumus Pemisahan Logika oleh SAT dan Incremental Negative Cycle Elimination. Chao Wang, Franjo Ivančić, Ganai Melayu, Aarti Gupta, 2005.

$0$ $1$ $-1$

Prosedur Keputusan yang Efisien untuk Kendala UTVPI. Shuvendu K. Lahiri dan Madanlal Musuvathi, 2005.

$n$ $\mathcal{O}(3^n)$

Domain Abstrak Octahedron. Robert Clarisó dan Jordi Cortadella, 2004.

Untuk kasus pergantian kuantifier terikat, saya tidak tahu hasil yang lebih baik daripada Reddy dan Loveland tapi mungkin seorang ahli dapat mengarahkan Anda ke arah yang benar.

— Vijay D
sumber