Masalah besar yang belum terpecahkan dalam ilmu komputer teoretis?

Wikipedia hanya mencantumkan dua masalah di bawah "masalah yang tidak terpecahkan dalam ilmu komputer" :

• P = NP?
• Adanya fungsi satu arah

Apa masalah besar lainnya yang harus ditambahkan ke daftar ini?

Aturan:

1. Hanya satu masalah per jawaban
2. Berikan deskripsi singkat dan tautan apa pun yang relevan

Dapat perkalian dari oleh matriks dilakukan di operasi?$n$$n$$O(n^2)$

Eksponen dari batas atas yang paling dikenal bahkan memiliki simbol khusus, . Saat ini kira-kira 2.376, oleh algoritma Coppersmith-Winograd . Tinjauan bagus tentang keadaan seni adalah Sara Robinson, Menuju Algoritma Optimal untuk Penggandaan Matriks , SIAM News, 38 (9), 2005.$\omega$$\omega$

Pembaruan: Andrew Stothers (dalam tesis 2010- nya ) menunjukkan bahwa , yang ditingkatkan oleh Virginia Vassilevska Williams (dalam cetakan Juli 2014 ) ke . Batas-batas ini diperoleh dengan analisis yang cermat terhadap teknik dasar Coppersmith-Winograd.$\omega < 2.3737$$\omega < 2.372873$

Pembaruan Lebih Lanjut (30 Jan 2014): François Le Gall telah membuktikan bahwa dalam makalah yang diterbitkan dalam ISSAC 2014 ( arXiv preprint ).$\omega < 2.3728639$

Apakah Grafik Isomorfisme dalam P?

Kompleksitas Graph Isomorphism (GI) telah menjadi pertanyaan terbuka selama beberapa dekade. Stephen Cook menyebutkannya dalam makalahnya tahun 1971 tentang NP-kelengkapan SAT .

Menentukan apakah dua grafik isomorfik biasanya dapat dilakukan dengan cepat, misalnya dengan perangkat lunak seperti nautydan saucy. Di sisi lain, Miyazaki membangun kelas instance yang nautyterbukti membutuhkan waktu eksponensial.

Read dan Corneil mengulas banyak upaya untuk mengatasi kompleksitas GI hingga saat itu: The Graph Isomorphism Disease , Journal of Graph Theory 1 , 339-363, 1977.

GI tidak diketahui berada dalam co-NP, tetapi ada protokol acak sederhana untuk Graph Non-Isomorphism (GNI). Jadi GI (= co-GNI) karena itu diyakini "dekat dengan" NP${}\cap{}$ NP bersama.

Di sisi lain, jika GI adalah NP-lengkap, maka Hirarki Polinomial runtuh. Jadi GI tidak mungkin lengkap NP. (Boppana, Håstad, Zachos, Apakah co-NP Memiliki Bukti Interaktif Singkat?, IPL 25 , 127–132, 1987)

Shiva Kintali memiliki diskusi yang bagus tentang kompleksitas GI di blog-nya.

Laszlo Babai membuktikan bahwa Graph Isomorphism berada dalam waktu sub-responsif .

Kompleksitas anjak piutang

Apakah Anjak di ?$\mathsf{P}$

• Konsekuensi Anjak berada di P?
• Apakah masalah PRIMES, FACTORING dikenal sebagai P-hard?
• Apa konsekuensi dari anjak piutang menjadi NP-lengkap?
• P dengan oracle faktorisasi bilangan bulat
• Bukti untuk faktorisasi bilangan bulat ada di P (di MO )

P = BPP?

Apakah ada aturan berputar untuk algoritma simpleks yang menghasilkan waktu berjalan polinomial kasus terburuk? Lebih umum, apakah ada algoritma polinomial yang kuat untuk pemrograman linier?

The eksponensial-waktu hipotesis (ETH) menegaskan bahwa pemecahan SAT membutuhkan eksponensial, 2 ^{Ω (n)} waktu. ETH menyiratkan banyak hal, misalnya SAT tidak dalam P, jadi ETH menyiratkan P ≠ NP. Lihat Impagliazzo, Paturi, Zane, Masalah Mana Yang Memiliki Kompleksitas Eksponensial Sangat? , JCSS 63, 512-530, 2001.

ETH diyakini secara luas, tetapi kemungkinan sulit untuk dibuktikan, karena menyiratkan banyak pemisahan kelas kompleksitas lainnya.

Immerman dan Vardi menunjukkan bahwa logika titik tetap menangkap PTIME di kelas struktur yang dipesan . Salah satu masalah terbuka terbesar dalam teori kompleksitas deskriptif adalah apakah ketergantungan pada pesanan dapat dihilangkan:

Apakah ada logika yang menangkap PTIME?

Sederhananya, logika menangkap PTIME adalah bahasa pemrograman untuk masalah grafik yang bekerja langsung pada struktur grafik dan tidak memiliki akses ke pengkodean simpul dan tepi, sehingga penahanan berikut:

1. setiap program yang secara sintaksis memodelkan masalah grafik yang dapat dihitung polinomial-waktu dan
2. masalah grafik komputasi polinomial waktu dapat dimodelkan dengan program yang benar secara sintaksis.

Jika tidak ada logika yang menangkap PTIME, maka sejak NP ditangkap oleh logika orde kedua. Logika yang menangkap PTIME akan memberikan kemungkinan serangan ke P vs NP.$P \neq NP$

Lihat blog Lipton untuk diskusi informal dan M. Grohe: The Quest for a Logic Capturing PTIME (LICS 2008) untuk survei yang lebih teknis.

Apakah dugaan game unik itu benar?
Dan: Mengingat bahwa ada algoritma perkiraan waktu sub-eksponensial untuk Game Unik , di mana masalahnya pada akhirnya terletak pada lanskap kompleksitas?

Permanen versus Penentu

Pertanyaan permanen versus determinan menarik karena dua fakta. Pertama, permanen dari matriks menghitung jumlah pencocokan sempurna dalam grafik bipartit. Oleh karena itu, permanen dari matriks tersebut adalah # P-Complete. Pada saat yang sama, definisi permanen sangat dekat dengan determinan, akhirnya berbeda hanya karena perubahan tanda yang sederhana. Perhitungan determinan diketahui berada di P. Mempelajari perbedaan antara permanen dan determinan, dan berapa banyak perhitungan determinan diperlukan untuk menghitung pembicaraan permanen tentang P versus # P.

Bisakah kita menghitung FFT dalam waktu kurang dari ?$O(n \log n)$

Dalam nada umum yang sama (sangat), ada banyak pertanyaan untuk meningkatkan run-time dari banyak masalah atau algoritma klasik: misalnya, dapatkah semua jalur berpasangan-terpendek (APSP) diselesaikan dalam waktu waktu ?$O(n^{3-\epsilon})$

Sunting: APSP berjalan dalam waktu "di mana penambahan dan perbandingan real adalah biaya unit (tapi semua operasi lain memiliki biaya logaritmik khas)":http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf$(\frac{n^3}{2^{\Omega(log n)^{1/2}}})$

The dinamis optimalitas dugaan untuk pohon splay.

Atau lebih umum: Apakah ada pohon pencarian biner dinamis online O (1) -competitive?

Algoritma deterministik waktu linier untuk masalah spanning tree minimum .

NP versus ko-NP

Pertanyaan NP versus ko-NP menarik karena NP ≠ co-NP menyiratkan P ≠ NP (karena P ditutup di bawah komplemen). Ini juga berhubungan dengan "dualitas": pemisahan antara menemukan / memverifikasi contoh dan menemukan / memverifikasi contoh tandingan. Faktanya, membuktikan bahwa sebuah pertanyaan ada dalam NP dan co-NP adalah bukti baik pertama kami bahwa masalah yang tampaknya berada di luar P juga kemungkinan tidak NP-Lengkap.

Apakah ada masalah yang tidak dapat diselesaikan secara efisien oleh komputer paralel?

Masalah yang P-lengkap tidak diketahui bisa diparalelkan. Masalah P-complete termasuk Horn-SAT dan Linear Programming. Tetapi membuktikan bahwa ini adalah kasus akan memerlukan memisahkan beberapa gagasan masalah yang dapat diparalelkan (seperti NC atau LOGCFL) dari P.

Desain prosesor komputer meningkatkan jumlah unit pemrosesan, dengan harapan bahwa ini akan menghasilkan peningkatan kinerja. Jika algoritma mendasar seperti Linear Programming secara inheren tidak dapat diparalelkan, maka ada konsekuensi yang signifikan.

Apakah semua tautologi proposisional memiliki bukti Frege ukuran polinomial?

Bisa dibilang masalah terbuka utama kompleksitas bukti : menunjukkan ukuran super-polinomial batas bawah pada bukti proposisional (disebut juga bukti Frege).

Secara informal, sistem bukti Frege hanyalah sistem bukti proposisional standar untuk membuktikan tautologi proposisional (seseorang belajar dalam kursus logika dasar), memiliki aksioma dan aturan deduksi, di mana garis bukti ditulis sebagai rumus. The ukuran dari bukti Frege adalah jumlah simbol yang diperlukan untuk menuliskan bukti.

Masalahnya kemudian bertanya apakah ada keluarga $(F_n)_{n=1}^\infty$ formula tautologis proposisional yang tidak ada polinomial $p$ sehingga ukuran bukti Frege minimal $F_n$ paling banyak $p(|F_n|)$ , untuk all $n=1,2,\ldots$ (di mana $|F_n|$ menunjukkan ukuran rumus $F_n$ ).

Definisi formal dari sistem bukti Frege

Definisi (Aturan Frege) Aturan Frege adalah urutan formula proposisional $A_0(\overline x),\ldots,A_k(\overline x)$ , untuk $k \le 0$ , ditulis sebagai $\frac{A_1(\overline x), \ldots,A_k(\overline x)}{A_0(\overline x)}$ . Dalam kasus$k = 0$, aturan Frege disebutskema aksioma. Sebuah formula$F_0$dikatakanditurunkan dengan aturandari$F_1,\ldots,F_k$jika$F_0,\ldots,F_k$adalah semua contoh substitusi dari$A_1,\ldots,A_k$, untuk beberapa tugas kepada$\overline x$variabel ( yaitu, ada rumus $B_1,\ldots,B_n$ sedemikian rupa sehingga$F_i = A_i(B_1/x_1,\ldots,B_n/x_n),$ untuk semua$i=0,\ldots,k$ . Aturan Frege dikatakanbaikjika setiap kali sebuah tugas memenuhi rumus di sisi atas $A_1,\ldots,A_k$ , maka itu juga memenuhi rumus di sisi bawah$A_0$ .

Definisi (bukti Frege) Diberikan seperangkat aturan Frege, bukti Frege adalah urutan formula sedemikian rupa sehingga setiap baris bukti merupakan aksioma atau diturunkan oleh salah satu aturan Frege yang diberikan dari jalur bukti sebelumnya. Jika urutan berakhir dengan rumus $A$ , maka bukti dikatakan bukti $A$ . The ukuran dari bukti Frege adalah total ukuran semua rumus dalam bukti.

Sebuah sistem bukti dikatakan implicationally lengkap jika untuk semua himpunan formula $T$ , jika $T$ semantik menyiratkan $F$ , maka ada bukti $F$ menggunakan (mungkin) aksioma dari $T$ . Suatu sistem bukti dikatakan baik jika ia mengakui bukti hanya tautologi (ketika tidak menggunakan aksioma bantu, seperti dalam $T$ atas).

Definisi (sistem bukti Frege) Diberi bahasa proposisional dan seperangkat $P$ aturan Frege yang baik, kami mengatakan bahwa $P$ adalah sistem bukti Frege jika $P$ secara implisit selesai.

Perhatikan bahwa bukti Frege selalu baik karena aturan Frege dianggap baik. Kita tidak perlu bekerja dengan sistem bukti Frege tertentu, karena hasil dasar dalam kompleksitas bukti menyatakan bahwa setiap dua sistem bukti Frege, bahkan lebih dari bahasa yang berbeda, setara secara polinomi [Reckhow, tesis PhD, University of Toronto, 1976].

Menetapkan batas bawah pada bukti Frege dapat dilihat sebagai langkah untuk membuktikan $NP \neq coNP$ , karena jika ini benar maka tidak ada sistem bukti proposisional (termasuk Frege) yang dapat memiliki bukti ukuran polinom untuk semua tautologi.

Bisakah kita menghitung jarak edit antara dua string panjang dalam waktu sub-kuadrat, yaitu, dalam waktu O ( n 2 - ϵ ) untuk beberapa ϵ > 0 ?$n$$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon>0$

Apakah ada algoritma waktu subquadratic (artinya untuk beberapa konstanta δ > 0 ) untuk Masalah 3SUM-hard ?$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$

Pada tahun 2014, Gronlund dan Pettie dijelaskan algoritma deterministik untuk 3SUM sendiri yang berjalan dalam waktu . Meskipun ini adalah hasil utama, peningkatan lebih dari O ( n 2 ) hanya (sub) logaritmik. Selain itu, tidak ada algoritma subquadratic serupa yang diketahui untuk sebagian besar masalah 3SUM-keras lainnya.$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$$O(n^2)$

BQP = P?

Juga: NP yang terkandung dalam BQP?

Saya tahu ini melanggar aturan dengan memiliki dua pertanyaan dalam jawabannya, tetapi ketika diambil dengan pertanyaan P vs NP, mereka tidak harus pertanyaan independen.

1. Dugaan Isomorfisme. (Apakah semua masalah NP-menyelesaikan masalah "sama"?)
2. Bisakah kriptografi didasarkan pada masalah NP-complete?

dan, sedikit lebih jauh dari arus utama:


3. Berapa ukuran NP dalam EXP?

(Secara informal, jika Anda memiliki semua masalah dalam EXP di atas meja, dan Anda mengambilnya secara seragam secara acak, berapakah probabilitas bahwa masalah yang Anda pilih juga dalam NP? Pertanyaan ini telah diformalkan dengan gagasan tentang ukuran terbatas sumber daya Diketahui bahwa P memiliki ukuran nol dalam EXP, yaitu, masalah yang Anda ambil dari tabel hampir pasti tidak dalam P.)

Berapakah perkiraan Metric TSP ? Algoritma Christofides ' dari tahun 1975 adalah algoritma estimasi polinomial-waktu (3/2). Apakah NP-sulit dilakukan lebih baik?

• Perkiraan Metric TSP ke dalam faktor yang lebih kecil dari 220/219 adalah NP-hard (Papadimitriou dan Vempala, 2006 [PS] ). Setahu saya ini adalah batas bawah yang paling dikenal.

• Ada beberapa bukti yang menunjukkan bahwa batas sebenarnya mungkin 4/3 (Carr dan Vempala, 2004 [Versi gratis] [Versi bagus] ).

• $13/9$

Berikan fungsi eksplisit dengan kompleksitas rangkaian eksponensial.

Shannon membuktikan pada tahun 1949 bahwa jika Anda memilih fungsi Boolean secara acak, ia memiliki kompleksitas rangkaian eksponensial dengan probabilitas hampir satu.

$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$5n - o(n)$

$\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$

Pisahkan NEXP dari BPP. Orang-orang cenderung percaya BPP = P, tetapi tidak ada yang dapat memisahkan NEXP dari BPP.

Saya tahu OP hanya meminta satu masalah per posting, tetapi konferensi RTA (Teknik Menulis Ulang dan Aplikasi mereka) 1 dan TLCA (Kalkulator Lambda Diketik dan Aplikasi mereka) keduanya mempertahankan daftar masalah terbuka di bidangnya 2 . Daftar-daftar ini cukup berguna, karena mereka juga memasukkan petunjuk ke pekerjaan sebelumnya yang dilakukan pada upaya untuk memecahkan masalah ini.

Derandomisasi masalah Pengujian Identitas Polinomial

$P$$P$

Masalah ini dapat diselesaikan dalam waktu polinomial acak tetapi tidak diketahui dapat dipecahkan dalam waktu polinomial deterministik.

$\tau$$P$$\tau$$\tau(P)$$P$$1$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)$

$c$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)\le (1+\tau(P))^c$

Apakah ada teorema Quantum PCP?

Ada banyak masalah terbuka di kalkulus lambda (diketik dan tidak diketik). Lihat daftar masalah terbuka TLCA untuk detailnya; ada juga versi PDF yang bagus tanpa bingkai.

Saya sangat suka masalah # 5:

$F_ω$

Apakah masalah logaritma diskrit di P?

$G$$q$$g,h \in G$$g$$G$$n \in \mathbb{N}$$g^n = h$$q$

$g^{a b}$$g, g^a$$g^b$$g, g^a, g^b, h \in G$$g^{a b} = h$

Jelas DLP sulit jika CDH sulit, dan CDH sulit jika DDH sulit, tetapi tidak ada pengurangan yang diketahui, kecuali untuk beberapa kelompok. Asumsi bahwa DDH sulit adalah kunci untuk keamanan beberapa cryptosystems, seperti ElGamal dan Cramer-Shoup .

Permainan paritas adalah permainan grafik dua pemain dengan durasi tak terbatas, yang masalah keputusan kodenya adalah dalam NP dan co-NP, dan yang memiliki masalah pencarian alami di PPAD dan PLS.

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

Bisakah game paritas diselesaikan dalam waktu polinomial?

(Lebih umum, pertanyaan terbuka utama lama dalam pemrograman matematika adalah apakah P-matrix Linear Complementarity Problem dapat diselesaikan dalam waktu polinomial?)

Area dengan kompleksitas parameterisasi memiliki beban masalah terbuka sendiri.

Pertimbangkan masalah keputusan

• $(G,k)$$k$$G$
• $(F,k)$$k$$F$ ?
• $(G,k)$$k$$G$
• dll ...

$f(k)n^c$$f$$c$$k$$n^{O(k)}$

Kerangka kerja ini memodelkan kasus-kasus di mana kita mencari struktur kombinatorial kecil dan kita dapat menjalankan waktu berjalan eksponensial sehubungan dengan ukuran solusi / saksi .

Masalah dengan algoritma seperti itu (misalnya penutup vertex) disebut Fixed Parameter Tractable (FPT).

Kompleksitas yang diparameterisasi adalah teori yang matang dan memiliki landasan teori dan daya tarik yang kuat untuk aplikasi praktis. Masalah keputusan yang menarik untuk teori tersebut membentuk hierarki kelas yang sangat terstruktur dengan masalah lengkap alami:

$FPT=W[1]$$ETH$

$W[1]=FPT$$k$