Hitung jumlah pohon yang merentang dengan cepat


19

t(G)Gnt(G)O(n3)QGJ11n2det(J+Q)QGJ1

Saya ingin tahu apakah ada cara untuk menghitung lebih cepat. (Ya, ada lebih cepat daripada algoritma untuk komputasi penentu tetapi saya tertarik pada beberapa pendekatan baru.)O ( n 3 )t(G)O(n3)

Ini juga tertarik untuk mempertimbangkan kelompok grafik khusus (planar, mungkin?).

Misalnya, untuk grafik sirkuler, dapat dihitung dalam operasi aritmatika melalui identitas , di mana adalah nilai eigen bukan nol dari matriks Laplacian dari , yang dapat dihitung dengan cepat untuk grafik sirkuler. (Mewakili baris pertama sebagai polinomial dan kemudian menghitungnya pada akar ke- persatuan - langkah ini menggunakan transformasi Discrete Fourier dan dapat dilakukan dalam operasi aritmatika .)O ( n lg n ) t ( G ) = 1t(G)O(nlgn)λiGnO(nlgn)t(G)=1nλ1λn1λiGnO(nlgn)

Terima kasih banyak!


Sergey, saya mencoba mengedit pertanyaan Anda untuk meningkatkan kejelasan. Periksa apakah saya memahami pertanyaan Anda dengan benar dan tidak menemukan kesalahan.
Tyson Williams

1
Berikut adalah salah satu contoh yang lebih umum dari keluarga grafik di mana menemukan kompleksitas dapat dilakukan lebih cepat: grafik Cayley untuk kelompok abelian dengan generator set , sehingga . Kita tahu bahwa nilai eigen dari matriks tersebut adalah , di mana adalah karakter yang berbeda dari grup. Semua karakter mudah ditemukan (untuk informasi lebih lanjut lihat makalah ini ) menghitung karakter-karakter tersebut adalah n- dimensi FFT (lihat Cormen et al bab tentang FFT), yaitu dapat dilakukan dalam O (n \ lg n) . S S - 1 = S h S χ ( hGSS1=SχhSχ(h)χO ( n lg n )nO(nlgn)
Finsky

Untuk informasi lebih lanjut tentang grafik Cayley, lihat buku ini .
Finsky

1
Melakukan aljabar Linear dengan Laplacian daripada matriks umum seringkali lebih mudah. Saya ingin tahu apakah ini relevan.
Gil Kalai

Bisakah Anda, lebih spesifik, jika mungkin, memberikan beberapa contoh, bahkan jika itu tidak terkait langsung dengan topik dalam diskusi. Terima kasih.
Finsky

Jawaban:


12

Hal ini diketahui bahwa, untuk dari treewidth dibatasi, yang Tutte polinomial dapat dievaluasi setiap menggunakan operasi aritmatika. Jika terhubung, maka .T ( G ; x , y ) ( x , y ) O ( n ) G t ( G ) = T ( G ; 1 , 1 )GT(G;x,y)(x,y)O(n)Gt(G)=T(G;1,1)

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.