Hitung jumlah pohon yang merentang dengan cepat

$t(G)$ $G$ $n$ $t(G)$ $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

Saya ingin tahu apakah ada cara untuk menghitung lebih cepat. (Ya, ada lebih cepat daripada algoritma untuk komputasi penentu tetapi saya tertarik pada beberapa pendekatan baru.) $t(G)$ $O(n^3)$

Ini juga tertarik untuk mempertimbangkan kelompok grafik khusus (planar, mungkin?).

Misalnya, untuk grafik sirkuler, dapat dihitung dalam operasi aritmatika melalui identitas , di mana adalah nilai eigen bukan nol dari matriks Laplacian dari , yang dapat dihitung dengan cepat untuk grafik sirkuler. (Mewakili baris pertama sebagai polinomial dan kemudian menghitungnya pada akar ke- persatuan - langkah ini menggunakan transformasi Discrete Fourier dan dapat dilakukan dalam operasi aritmatika .) $t(G)$ $O(n \lg n)$ $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ $\lambda_i$ $G$ $n$ $O(n \lg n)$

Terima kasih banyak!

— Finsky
sumber

Sergey, saya mencoba mengedit pertanyaan Anda untuk meningkatkan kejelasan. Periksa apakah saya memahami pertanyaan Anda dengan benar dan tidak menemukan kesalahan.

— Tyson Williams

Berikut adalah salah satu contoh yang lebih umum dari keluarga grafik di mana menemukan kompleksitas dapat dilakukan lebih cepat: grafik Cayley untuk kelompok abelian dengan generator set , sehingga . Kita tahu bahwa nilai eigen dari matriks tersebut adalah , di mana adalah karakter yang berbeda dari grup. Semua karakter mudah ditemukan (untuk informasi lebih lanjut lihat makalah ini ) menghitung karakter-karakter tersebut adalah

dimensi FFT (lihat Cormen et al bab tentang FFT), yaitu dapat dilakukan dalam

G

$G$

S

$S$

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$

χ

$\chi$

n

$n$

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$

— Finsky

Untuk informasi lebih lanjut tentang grafik Cayley, lihat buku ini .

— Finsky

Melakukan aljabar Linear dengan Laplacian daripada matriks umum seringkali lebih mudah. Saya ingin tahu apakah ini relevan.

— Gil Kalai

Bisakah Anda, lebih spesifik, jika mungkin, memberikan beberapa contoh, bahkan jika itu tidak terkait langsung dengan topik dalam diskusi. Terima kasih.

— Finsky

Hal ini diketahui bahwa, untuk dari treewidth dibatasi, yang Tutte polinomial dapat dievaluasi setiap menggunakan operasi aritmatika. Jika terhubung, maka . $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— Radu Curticapean
sumber