Kompleksitas masalah penutup interval

Pertimbangkan hal berikut masalah $Q$ : Kami diberi integer , dan interval dengan . Kita juga diberi bilangan bulat . Tugasnya adalah memilih jumlah interval minimum $n$ $k$ $[l_i,r_i]$ $1\leq l_i\leq r_i\leq 2n$ $2n$ $d_1,…,d_{2n}\geq 0$ $[l_i,r_i]$ sedemikian rupa sehingga untuk setiap , setidaknya interval berisi bilangan bulat dipilih. $i=1,…,2n$ $d_i$ $i$

Tidak sulit untuk melihat bahwa dapat diselesaikan dalam waktu polinomial (lihat di bawah). $Q$

Sekarang pertimbangkan hal berikut sedikit dimodifikasi masalah $Q’$ : Input dari masalah adalah sama seperti sebelumnya. Namun, tugas sekarang adalah untuk memilih jumlah minimum interval sehingga untuk setiap , setidaknya interval yang mengandung bilangan bulat atau setidaknya interval yang mengandung integer dipilih (dengan "atau" kami maksudkan logis biasa atau). $i=1,…,n$ $d_{2i-1}$ $2i-1$ $d_{2i}$ $2i$

Pertanyaan saya: Dapatkah diselesaikan dalam waktu polinomial? $Q’$

Berikut adalah dua cara untuk menyelesaikan efisien: $Q$

Algoritme serakah yang sederhana: Sapu interval dari kiri ke kanan dan pilih interval sesedikit yang diperlukan untuk “memuaskan” angka . Setiap kali ada pilihan antara interval yang berbeda, pilih satu dengan titik akhir kanan maksimal. $d_i$

Program integer: Untuk setiap interval perkenalkan variabel keputusan dengan jika interval dipilih. Tujuannya adalah untuk meminimalkan , dengan batasan $[l_i,r_i]$ $x_i\in\{0,1\}$ $x_i=1$ $x_1+…+x_k$ $\sum_{j:i\in[l_j,r_j]} x_j\geq d_i$ . Matriks kendala dari program integer ini memiliki properti berturut-turut dan oleh karena itu relaksasi pemrograman linier dari program ini memiliki solusi optimal integer.

Terima kasih atas petunjuk, dan juga untuk referensi!

cc.complexity-theory np-hardness

— Torsten Mütze
sumber

-1

Setiap instance dari Q dapat ditransformasikan menjadi sebuah instance dari Multiple Set Cover Problem, di mana lokasi adalah interval , yang meliputi urutan titik permintaan yang berurutan (= bilangan bulat ). $[l_i,r_i]$ $d_i$

— Benjamin
sumber

Bisakah Anda meningkatkan jawaban dengan menambahkan definisi Multiple Set Cover Problem (MSCP) dan detail lebih lanjut tentang reduksi? Secara khusus, turunan dari MSCP (setidaknya "versi" yang saya tahu) adalah grafik bipartit

dan hanya

merupakan gabungan dari set-set yang terpisah; dengan cara mana reduksi memetakan sisi-sisi dari

G = (V_{1}, V_{2}, E)

$G = (V_1,V_2,E)$

V_{1}

$V_1$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$

— Marzio De Biasi