Bukti alternatif dari lemma Schwartz-Zippel

Saya hanya mengetahui dua bukti dari lemma Schwartz-Zippel. Bukti pertama (lebih umum) dijelaskan dalam entri wikipedia . Bukti kedua ditemukan oleh Dana Moshkovitz.

Apakah ada bukti lain yang menggunakan ide yang sangat berbeda?

Inilah ide lain yang saya miliki untuk bukti geometris. Ia menggunakan geometri projektif dengan cara yang esensial.

Mari $c \in \mathbb F^m$ menjadi titik affine luar hypersurface $S$ . Proyeksikan hypersurface ke hyperplane di infinity menggunakan $c$ sebagai pusat; yaitu, memetakan setiap $x \in S$ ke $p(x)$ , persimpangan garis unik melalui $c$ dan $x$ dengan hyperplane di infinity. The preimages bawah $p$ dari titik di tak terhingga semua kebohongan pada baris yang sama, dan karena itu (lagi mengurangi masalah untuk dimensi 1) ada sebagian $d$ dari mereka. Hyperplane di infinity memiliki kardinalitas $|\mathbb F^{m-1}|$, jadi kami mendapatkan batas atas yang familier$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$.

Sebagai tindak lanjut dari jawaban Per Vognsen, bukti Dana Moshkovitz sudah menunjukkan bukti yang sangat mudah untuk hanya versi Schwartz-Zippel Lemma yang sedikit lebih lemah yang, saya pikir, cukup untuk sebagian besar aplikasi.

Misalkan menjadi polinomial bukan-nol derajat d , di mana F adalah bidang urutan terbatas q , dan misalkan x ∈ F n menjadi titik sedemikian rupa sehingga f ( x ) ≠ 0 . Ada ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) banyak garis berbeda yang melewati x sedemikian rupa sehingga mereka mempartisi F n - { x $f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$. Pembatasan untuk masing-masing baris ini adalah gelar d univariat polinomial, yang nol, karena nol di x , dan sebagainya, memiliki paling d nol. Jadi, jumlah total nol f paling banyak adalah d ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) . Schwartz-Zippel, sebagai perbandingan, memberikan batas atas yang lebih kuat dari d q n - 1 .$f$$d$ $x$$d$$f$$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

Mengingat kemudahan bukti ini, saya yakin itu cerita rakyat; jika tidak, seharusnya :) Saya akan menghargai jika seseorang dapat memberikan referensi.

Bukti Moshkovitz didasarkan pada geometri sederhana tetapi makalahnya tidak terlalu jelas. Inilah idenya:

Sebuah gelar polinomial dalam m variabel pemotongan keluar hypersurface di F m . Persimpangan dari hypersurface dan garis independen (yaitu persimpangan bukan seluruh garis) memiliki paling banyak d poin. Jika Anda dapat menemukan arah yang di mana-mana independen hypersurface, Anda dapat berdaun-daun F m oleh garis sejajar dalam arah dan jumlah persimpangan dalam setiap baris. Foliation ini parameterized oleh komplemen ortogonal arah, yang merupakan isomorfik hyperplane untuk F m - 1 , sehingga jumlah total poin hypersurface di semua F m adalah paling banyak d | $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$ .$d\ |F|^{m-1}$

Ini menunjukkan bahwa bukti lain di sepanjang garis yang sama dapat bekerja.

Sunting: Saya ingin mengatakan sedikit tentang bagaimana bukti Arnab berhubungan dengan Moshkovitz. Dia mengambil titik di luar permukaan hiper dan mempertimbangkan pensil garis melalui titik itu. Moshkovitz menganggap keluarga garis paralel. Tampaknya berbeda tetapi ini benar-benar sama! Keluarga paralel adalah pensil garis yang melewati titik tanpa batas. Aljabar Arnab berlaku kata demi kata jika Anda pertama kali melakukan homogenisasi polinomial dan membatasi hyperplane pada infinity dengan menghubungkan , yang menghapus semua istilah yang tidak mengarah.$w = 0$

Sunting: Lihat jawaban saya yang lain untuk bukti baru (tetapi tidak sepenuhnya terkait).

Percobaan 1:

Sudahkah Anda melihat Lemma A.36 (halaman 529) dari buku Arora / Barak ? Hampir setengah halaman, dan didasarkan pada induksi.

Jika Anda tidak memiliki akses ke buku itu, saya bisa membawa buktinya di sini.

Percobaan 2:

Bagaimana dengan Sejarah Penasaran tentang Schwartz-Zippel Lemma ? Di antara yang lain, itu mengutip kertas DeMillo-Lipton , dating kembali ke tahun 1977. Beberapa makalah lain diberi nama dan membandingkan juga.

Percobaan 3:

Topik MathOverflow berikut mungkin menarik juga: Algoritma P / poly untuk pengujian identitas polinomial .

Schwartz-Zippel lemma adalah kasus khusus dari teorema Noga Alon dan Zoltan Füredi seperti yang ditunjukkan pada Bagian 4 makalah ini: Pada Nol dari Polinomial dalam Grid Hingga , dan karenanya setiap bukti baru dari teorema tersebut memberikan bukti baru dari Schwartz -Zippel. Sampai sekarang, saya tahu enam bukti berbeda, dua di antaranya muncul di koran dan yang lainnya dirujuk di sana.

Teorema Alon-Furedi mengatakan sebagai berikut:

$F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$$x \in A$$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

$\deg f < \min \#A_i$

Formulasi asli lemma Schwartz-Zippel hanya berlaku untuk bidang:

$P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Seseorang dapat memformulasikan kembali lemma sedemikian sehingga masuk akal untuk cincin komutatif yang sewenang-wenang:

$P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$$\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Keuntungan dari bukti dari wikipedia adalah bahwa ia secara umum menunjukkan bahwa reformulasi berlaku untuk cincin komutatif yang sewenang-wenang, yang telah diperhatikan dan dikerjakan oleh Emil Jeřábek di sini .

Ini memberikan bukti alternatif lemma Schwartz-Zippel, dengan membuktikan formulasi ulang untuk cincin komutatif umum, dan mendapatkan formulasi normal untuk bidang sebagai akibat wajar.