Mendekati peringkat tanda suatu matriks

Peringkat tanda dari matriks A dengan entri + 1, -1 adalah peringkat paling rendah (di atas real) dari matriks B yang memiliki pola tanda yang sama dengan A (yaitu, untuk semua i , j ). Gagasan ini penting dalam kompleksitas komunikasi dan teori belajar.$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

Pertanyaan saya adalah: Apakah ada algoritma (waktu subeksponensial) yang diketahui yang mendekati peringkat tanda suatu matriks dalam faktor ?$o(n)$

(Saya menyadari batas bawah Forster pada peringkat tanda dalam hal norma spektral, tetapi ini tidak menghasilkan rasio perkiraan yang lebih baik daripada secara umum.)$\Omega(n)$

Saya percaya ini adalah pertanyaan terbuka.

Lee dan Schraibman dalam "Algoritme aproksimasi untuk peringkat aproksimasi" menunjukkan bahwa peringkat aproksimasi dapat didekati menjadi faktor konstan dengan algoritma waktu polinomial. Untuk melakukannya, mereka menghubungkan kuantitas pemrograman semidefinit dengan peringkat aproksimasi, di mana α adalah beberapa parameter hingga lebih besar dari 1. Mengambil α hingga batas infinity menghasilkan tanda-peringkat tetapi hasilnya tidak memberikan apa-apa dalam hal ini pengaturan.$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

$O(n/\log n)$$d$$S$

• $M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• $S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$, yang dimaksimalkan di $d = \Theta(\log n)$.