Apakah

$\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{TC^0_d} \subsetneq \mathsf{TC^0_{d+1}}$ $d$

Entri Kebun Binatang untuk $\mathsf{TC^0}$ hanya menyebutkan pemisahan antara kedalaman 2 dan 3.

Juga adakah referensi standar untuk fakta bahwa $\mathsf{AC^0_d}$ hierarki tidak runtuh?

— Kaveh
sumber

Pertanyaan terkait adalah, berapa banyak fungsi berbeda yang ada di

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$ /

T C_{d}^{0}

$TC_d^0$ ? Batas bawah yang wajar pada jumlah ini akan menjawab pertanyaan Anda. Juga bukti keketatan untuk lemma beralih Hastad mungkin akan menjawab pertanyaan kedua Anda.

— MCH

Untuk pertanyaan kedua, saya percaya ini pertama kali dibuktikan dalam kertas STOC '83 milik Sipser "Borel set dan kompleksitas sirkuit" . Ini hanya memberikan batas bawah super-polinomial. Batas bawah eksponensial pertama diberikan oleh Yao, kemudian ditingkatkan oleh Håstad.

— Robin Kothari

@MCH, maksud Anda menulis

T C_{d}^{0} / A C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}/\mathsf{AC^0_d}$ ? Atau maksud Anda jumlah kelas ekivalensi masalah dalam

T C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}$ wrt

A C_{d}^{0}

$\mathsf{AC^0_d}$ ?

— Kaveh

Apa yang saya maksud adalah sangat sederhana: Berapa banyak fungsi berbeda yang dapat oleh kelas dari ukuran ? (Kita dapat memperkirakan jumlah sirkuit dengan sangat mudah tetapi kita harus berhati-hati bahwa beberapa dari mereka dapat menghitung fungsi yang sama.) Setelah Anda menunjukkan bahwa jumlah ini bertambah dengan , Anda selesai.

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

s

$s$

d

$d$

— MCH

@Dilworth, tidak seragam. Menghitung tampaknya tidak berhasil, jika tidak, seperti yang saya catat di bawah ini, kita dapat memisahkan dari yang terbuka.

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— Kaveh

Jawaban:

Kami tahu tidak ada batas bawah yang baik (artinya, katakanlah, batas bawah superpolynomial untuk bahasa di ) untuk sirkuit ambang batas kedalaman 2 (bobot tidak terikat). Kedalaman 3 sirkuit dibangun dari gerbang mayoritas, yaitu berisi kelas ini, dan dengan demikian kita juga tidak mengenal batas bawah yang baik untuk kelas ini. $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0_3$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
sumber

Ini menjawab pertanyaan saya. Terima kasih Kristoffer.

— Kaveh

Seperti yang saya tulis di komentar di atas, bahkan jika masalah di NEXP tidak diketahui berada di luar TC , bukankah masih mungkin bahwa hierarki TC yang tidak seragam layak melalui argumen penghitungan yang terikat lebih rendah?

_{2}^{0}

$^0_2$

^{0}

$^0$

— Dilworth

Juga, bolehkah saya bertanya, bagaimana ini konsisten dengan batas bawah eksponensial yang diketahui pada TC dan pemisahan kedalaman 3 dari sirkuit ambang batas kedalaman 2, seperti yang dilaporkan dalam kebun binatang kompleksitas? Apakah saya melewatkan sesuatu?

_{2}^{0}

$_2^0$

— Dilworth

@ Dworthworth, saya pikir itu karena itu didefinisikan menggunakan Mayoritas bukan Ambang.

— Kaveh

Hmm .. apa maksudmu tepatnya? Apakah ini terkait dengan catatan yang dibuat oleh Kristoffer tentang "bobot yang tidak terikat"?

— Dilworth

Jika saya tidak melakukan kesalahan, sepertinya membuktikan bahwa tidak runtuh setidaknya sama sulitnya dengan memisahkan dari : $\mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{TC^0}$

Mari kita tunjukkan masalah Evaluasi Formula Boolean oleh . selesai untuk bawah . $BFE$ $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0}$

Oleh Manindra Agrawal, Eric Allender, dan Steven Rudich, " Pengurangan dalam Kompleksitas Sirkuit: Teorema Isomorfisme dan Teorema Gap ", 1999, lengkap untuk bawah . $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0_2}$

Asumsikan . Kemudian untuk beberapa . Karena itu . Yang berarti . $\mathsf{NC^1}=\mathsf{TC^0}$ $BFE \in \mathsf{TC^0_d}$ $d$ $\mathsf{NC^1} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$

Jadi untuk semua kita memiliki $d$

$\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{TC^0_d}$ menyiratkan dan . $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $BFE \notin \mathsf{TC^0_d}$

— Kaveh
sumber