Apakah ada grafik lingkaran, bebas bintang-bebas-setetes, dengan lebih dari n tepi?

Saya mencoba menemukan grafik dengan properti-properti itu untuk studi saya, tetapi sayangnya saya tidak dapat menemukan grafik tersebut.

Adakah yang tahu kalau ada grafik itu, atau mengapa tidak mungkin ada?

graph-theory graph-classes

— Rafael Oliveira Lopes
sumber

Bisakah Anda menjelaskan terminologi Anda? Apa itu "bebas potongan bintang" dan apa itu "grafik lingkaran"?

— Yuval Filmus

Tentu. =) Grafik lingkaran adalah grafik (tidak terarah) yang simpulnya dapat dikaitkan dengan akor dalam lingkaran sedemikian rupa sehingga dua simpul saling berdekatan jika akord yang sesuai saling bersilangan. Berikut ini adalah gambar sebagai contoh (dari Wikipedia): en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_graph.svg Dan kita dapat mengatakan grafik memiliki bintang-cutset ketika Anda memiliki simpul v sehingga menghapus v dan tetangganya (N [v]) dari grafik ternyata terputus.

— Rafael Oliveira Lopes

ISGCI memiliki definisi bebas segitiga dan grafik lingkaran . Sebuah bintang-cutset adalah bagian dari simpul yang memisahkan grafik, seperti yang satu vertex di berbatasan dengan setiap simpul lainnya di .

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Jeffε

Makalah ini mungkin relevan.

— Jeffε

Jawaban:

Misalkan adalah grafik lingkaran bebas-bintang-bebas-segitiga. Saya akan menunjukkan bahwa tidak mengandung simpul dengan derajat lebih dari 2. Oleh karena itu, memiliki paling banyak tepi. $G$ $G$ $G$ $n$

Pertimbangkan representasi lingkaran dari . Seperangkat akor sejajar jika tidak ada dua yang melintas tetapi ada garis yang melintasi semua akor. $C$ $G$

Properti 1 : tidak memiliki 3 akord paralel. $C$

Bukti . Misalkan memiliki 3 akord paralel. Hubungkan vertex sesuai dengan akord tengah. Kemudian, adalah cutset. Ini membuktikan properti. $C$ $v$ $N[v]$

Demi kontradiksi, anggap memiliki simpul derajat setidaknya 3. Kemudian, akord yang sesuai dengan memotong 3 akord lainnya. Karena 3 akor ini berpotongan satu garis, keduanya paralel atau dua di antaranya berpotongan. Karena Properti 1, dua dari mereka berpotongan, yang berarti simpul mereka membentuk segitiga dengan , yang bertentangan dengan yang bebas segitiga. $G$ $v$ $v$ $v$ $G$

— Serge Gaspers
sumber

Saya pikir propety 1 tidak benar. Pertimbangkan akor yang membentuk sisi-sisi

gon biasa , dengan lingkaran yang sedikit lebih besar sehingga berisi

gon tetapi tidak mengandung penyilangan lain dari sisi-sisi tersebut.

n

$n$

n

$n$

— David Eppstein

Ok, seperti dikoreksi saya pikir ini berfungsi, dan lebih sederhana dari bukti saya.

— David Eppstein

Tidak, tidak ada grafik seperti itu. Untuk melihat mengapa tidak, anggaplah kita memiliki grafik lingkaran yang didefinisikan oleh seperangkat akord bebas segitiga. Misalkan adalah jumlah simpul dari grafik lingkaran (atau jumlah akord), dan adalah jumlah tepi grafik (persilangan dua akor). Kemudian induksi mudah pada jumlah akord menunjukkan bahwa susunan akord memiliki tepat wajah. Namun, paling banyak ada wajah yang menyentuh lingkaran (lebih sedikit jika beberapa wajah menyentuh lingkaran lebih dari sekali), jadi jika maka harus ada setidaknya dua wajah interior pengaturan. Biarkan $n$ $m$ $m+n+1$ $2n$ $m>n$ $p$ menjadi lintasan terpendek apa pun dalam grafik rangkap dari pengaturan (a squaregraph ) dari satu wajah seperti itu ke wajah lainnya, dan biarkan menjadi sembarang kord ganda ke tepi . Kemudian potongan bintang yang diinduksi oleh memisahkan beberapa akord yang mengikat wajah di satu ujung dari beberapa akord yang mengikat wajah di ujung yang lain. $c$ $p$ $c$ $p$

— David Eppstein
sumber