Saya tertarik pada kompleksitas parameter dari apa yang saya sebut masalah Set-h Memukul d-dimensi: diberi ruang rentang (yaitu sistem set / hypergraph) S = (X, R) memiliki dimensi-VC paling banyak d dan bilangan bulat positif k, apakah X berisi subset ukuran k yang mengenai setiap rentang dalam R? Versi parameterisasi masalah ini diparameterisasi oleh k.
Untuk nilai apa d adalah masalah Hitting Set d-Dimensi
- dalam FPT?
- dalam W [1]?
- W [1] -tidak?
- W [2] -tidak?
Yang saya tahu bisa diringkas sebagai berikut:
Hitting Set 1-Dimensi dalam P dan karenanya dalam FPT. Jika S memiliki dimensi 1, maka tidak sulit untuk menunjukkan bahwa ada set ukuran 2 atau matriks kejadian S benar-benar seimbang. Dalam kedua kasus tersebut, kita dapat menemukan hitting minimum yang diatur dalam waktu polinomial.
Hitting Set 4-Dimensi adalah W [1] -hard. Dom, Fellows, dan Rosamond [PDF] membuktikan W [1] -kemampuan untuk masalah menusuk sumbu-paralel persegi panjang dalam R ^ 2 dengan garis sumbu-paralel. Ini dapat dirumuskan sebagai Hitting Set dalam ruang rentang VC-dimensi 4.
Jika tidak ada batasan yang ditempatkan pada d maka kita memiliki masalah Hitting Set standar yaitu W [2] -lengkap dan NP-lengkap.
Langerman dan Morin [citeseer link] memberikan algoritma FPT untuk Set Cover dalam dimensi terbatas, meskipun model dimensionalitas terikatnya tidak sama dengan model yang didefinisikan oleh dimensi VC terikat. Model mereka tampaknya tidak termasuk, misalnya, masalah memukul halfspaces dengan poin, meskipun masalah prototipe untuk model mereka setara dengan memukul hyperplanes dengan poin.