Kompleksitas parameter dari Hitting Set dalam dimensi VC terbatas


37

Saya tertarik pada kompleksitas parameter dari apa yang saya sebut masalah Set-h Memukul d-dimensi: diberi ruang rentang (yaitu sistem set / hypergraph) S = (X, R) memiliki dimensi-VC paling banyak d dan bilangan bulat positif k, apakah X berisi subset ukuran k yang mengenai setiap rentang dalam R? Versi parameterisasi masalah ini diparameterisasi oleh k.

Untuk nilai apa d adalah masalah Hitting Set d-Dimensi

  • dalam FPT?
  • dalam W [1]?
  • W [1] -tidak?
  • W [2] -tidak?

Yang saya tahu bisa diringkas sebagai berikut:

  • Hitting Set 1-Dimensi dalam P dan karenanya dalam FPT. Jika S memiliki dimensi 1, maka tidak sulit untuk menunjukkan bahwa ada set ukuran 2 atau matriks kejadian S benar-benar seimbang. Dalam kedua kasus tersebut, kita dapat menemukan hitting minimum yang diatur dalam waktu polinomial.

  • Hitting Set 4-Dimensi adalah W [1] -hard. Dom, Fellows, dan Rosamond [PDF] membuktikan W [1] -kemampuan untuk masalah menusuk sumbu-paralel persegi panjang dalam R ^ 2 dengan garis sumbu-paralel. Ini dapat dirumuskan sebagai Hitting Set dalam ruang rentang VC-dimensi 4.

  • Jika tidak ada batasan yang ditempatkan pada d maka kita memiliki masalah Hitting Set standar yaitu W [2] -lengkap dan NP-lengkap.

  • Langerman dan Morin [citeseer link] memberikan algoritma FPT untuk Set Cover dalam dimensi terbatas, meskipun model dimensionalitas terikatnya tidak sama dengan model yang didefinisikan oleh dimensi VC terikat. Model mereka tampaknya tidak termasuk, misalnya, masalah memukul halfspaces dengan poin, meskipun masalah prototipe untuk model mereka setara dengan memukul hyperplanes dengan poin.


4
Pertanyaan bagus!
András Salamon

Jawaban:


14

Saya pikir masalah ini terlalu sulit. Kami tidak tahu jawaban untuk masalah yang jauh lebih mudah di keluarga ini. Sebagai contoh, diberikan satu set n poin dalam pesawat, dan satu set (katakanlah n) unit disk, putuskan apakah ada penutup poin dengan k dari unit disk. Ada algoritma waktu n ^ O (k) yang mudah untuk ini, dan saya tidak akan terkejut jika menggunakan wawasan yang diketahui orang dapat melakukan n ^ O (sqrt {k}) (tetapi bahkan itu tidak jelas), tetapi melakukan f ( k) * n ^ {O (1)} terbuka, dan pada kenyataannya akan sangat menarik. A (1 + eps) perkiraan berasal dari karya Mustafa dan Ray http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1542362.1542367 .

BTW, untuk versi berkelanjutan di mana setiap unit disk diizinkan, orang dapat menyelesaikan masalah dalam waktu n ^ {O (k)} waktu. Sebuah PTAS dalam hal ini juga cukup mudah menggunakan grid bergeser.


4

Kami menjawab pertanyaan ini dalam pracetak baru: http://arxiv.org/abs/1512.00481

Hitting Set dalam hypergraphs dimensi VC rendah (Karl Bringmann, László Kozma, Shay Moran, NS Narayanaswamy).

Ternyata Hitting Set adalah W [1] -sudah keras ketika dimensi VC sama dengan 2.


Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.