Apakah dengan fanout terikat lebih lemah dari ?

Dalam survei "Sirkuit Kuantum Kedalaman Kecil" oleh D. Bera, F. Green dan S. Homer (hlm. 36 dari ACM SIGACT News, Juni 2007, vol. 38, no. 2) , saya membaca kalimat berikut:

Versi klasik (di mana gerbang dan memiliki fanout paling konstan) terbukti lebih lemah dari .$QAC^0$$AND$$OR$$AC^0$

Referensi untuk klaim ini tidak ada. Saya akan memanggil kelas ini , di mana adalah singkatan dari "fanout terikat". (Kompleksitas Kebun Binatang sedang turun dan saya tidak dapat memverifikasi jika kelas tersebut sudah memiliki nama dalam literatur). Jika kita mengasumsikan fanout tanpa batas untuk bit input, maka rangkaian ini tampaknya setara dengan rumus kedalaman konstan hingga peningkatan polinomial dalam ukuran, sehingga klaim di atas tidak masuk akal. Sebaliknya, jika kita mengasumsikan fanout terbatas untuk bit input juga, maka saya tidak dapat memikirkan bahasa apa pun yang memisahkan kelas ini dari . Calon yang mungkin adalah bahasa , yaitu bahasa string dengan hanya satu 1. Mudah untuk ditampilkan$AC^0_{bf}$$bf$$AC^0$$X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$$X \in AC^{0}$ , tetapi saya tidak berhasil membuktikan bahwa .$X \notin AC^{0}_{bf}$

Pertanyaannya adalah:

Apakah sebenarnya lebih lemah dari ? Jika ya, ada ide atau referensi tentang cara membuktikannya? Dan apa bahasa yang memisahkan kedua kelas itu? Bagaimana dengan ? A C 0$AC^0_{bf}$$AC^0$$X$

Ikatan yang dipasang keluar dari bit input dan gerbang akan membuat ukuran rangkaian menjadi linier. Biarkan menjadi terikat pada kipas-keluar dari gerbang dan input. Ini adalah DAG dengan derajat keluar maksimum yang dibatasi oleh k dan panjang jalur maks . D. Jumlah kabel tersedia di setiap tingkat dapat meningkatkan k kali, dan jumlah kabel tersedia di atas adalah k n , sehingga jumlah total kabel di sirkuit yang paling k n Σ d i = 0 k i ≤ k d + 1 n yang merupakan O ( n ) .$k$$k$$d$$k$$kn$$kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$$O(n)$

Setiap fungsi yang membutuhkan ukuran super-linear akan memisahkan kelas fungsi dengan dibatasi fan-out (diterapkan juga untuk masukan bit) dari A C 0 . Berikut ini beberapa contohnya:$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}$

1. [CR96]: Fungsi yang membutuhkan ukuran super-linear adalah 1$\mathsf{AC^0}$ -pilih pemilih$\frac{1}{4}$. A -approximate selector adalah fungsi yang nilainya:$\frac{1}{4}$

   • setiap kali jumlah 1 paling banyak$0$$1$ ,$\frac{n}{4}$
   • setiap kali jumlah 0 s paling banyak$1$$0$ ,$\frac{n}{4}$
   • dapat berupa atau 1 jika tidak.$0$$1$

2. [Ros08] menunjukkan bahwa -clique memiliki A C 0 fungsi kompleksitas n Θ ( k ) ( n 2 bit masukan yang mungkin tepi grafik dengan n simpul). Ini memberikan ukuran garis super rendah lowerbound untuk k > 2 .$k$$\mathsf{AC^0}$$n^{\Theta(k)}$$n^2$$n$$k\gt 2$

3. Mungkin saja untuk menggeneralisasi contoh dalam 2 dapat menjadi adanya substruktur nontrivial (memerlukan lebih dari satu bit) yang diinduksi dalam struktur yang tidak berurutan, misalnya:

   • keberadaan jalur panjang 2 dalam grafik yang diberikan,
   • ,$\#_1(x)=2$

   karena mereka membutuhkan jumlah gerbang super konstan tergantung pada bit yang tidak mungkin pada .$\mathsf{AC^0_{bf}}$

4. Contoh termudah adalah gerbang duplikator, yaitu gerbang yang membuat salinan bit inputnya. Ini tidak mungkin di A C 0 b f karena hanya O ( 1 ) dari gerbang dapat bergantung pada setiap bit input.$\omega(1)$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$O(1)$

Juga setiap sirkuit ukuran S bisa berubah menjadi rumus ukuran paling k d S dan karena itu memiliki A C 0 b f rumus ukuran k 2 d + 1 n sehingga setiap fungsi superlinear A C 0 kompleksitas rumus tidak akan berada dalam A C 0 b f .$\mathsf{AC^0_{bf}}$$S$$k^dS$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$k^{2d+1}n$$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0_{bf}}$

Referensi:

[CR96] S. Chaudhuri dan J. Radhakrishnan, " Pembatasan Deterministik dalam Kompleksitas Sirkuit ", 1996

[Ros08] Benjamin Rossman, " Pada Kerumitan Constant-Depth dari k-Clique ", 2008

[Juk] Stasys Jukna, " Kompleksitas Fungsi Boolean: Kemajuan dan Batas ", konsep