Algoritma eksponensial waktu yang tepat untuk pemrograman 0-1

10

Apakah ada algoritma yang dikenal untuk masalah berikut yang mengalahkan algoritma naif?

Input: Sistem dari ketidaksetaraan linear . $Ax \le b$ $m$

Keluaran: Solusi yang layak jika ada. $x^*\in \{0,1 \}^n$

Asumsikan bahwa dan memiliki entri bilangan bulat. Saya tertarik pada batasan terburuk. $A$ $b$

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

— Austin Buchanan
sumber

14

Jika adalah superlinear, algoritma seperti itu akan menyangkal Hipotesis Waktu Eksponensial Kuat, karena rumus dalam bentuk normal konjungtif adalah kasus khusus dari pemrograman 0-1 dan Lemma Sparsifikasi memungkinkan kita untuk mengurangi -SAT menjadi CNF-SAT pada banyak klausa linier . $m$ $k$

Namun, ada algoritma karena Impagliazzo, Paturi, dan saya sendiri yang dapat memecahkan sistem ketidaksetaraan jika jumlah kabel, yaitu jumlah koefisien bukan nol dalam adalah linear. Khususnya, jika jumlah kabel adalah , algoritma berjalan dalam waktu , di mana $A$ $cn$ $2^{(1-s)n}$ . $s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

— Stefan Schneider
sumber

1

Jika cukup kecil, Anda dapat melakukan lebih baik daripada algoritma naif, yaitu lebih baik dari waktu. Di sini "cukup kecil" berarti bahwa lebih kecil dari sesuatu seperti . Waktu yang berjalan masih akan eksponensial - misalnya, mungkin waktu - tetapi akan lebih cepat daripada algoritma naif. $m$ $2^n$ $m$ $n/\lg n$ $2^{n/2}$

Kebetulan, sepertinya hal ini memungkinkan kita untuk memecahkan masalah dalam lebih cepat dari waktu untuk beberapa kasus di mana matriks memiliki sejumlah super-linear entri. Saya tidak tahu bagaimana mengatasinya dengan jawaban lain yang disediakan di sini. Akibatnya, Anda harus memeriksa jawaban saya dengan hati-hati: ini mungkin mengindikasikan bahwa saya telah melakukan kesalahan serius di suatu tempat. $2^n$ $A$

Pendekatan dasar: tulis , di mana memegang komponen pertama dari dan memegang komponen terakhir ; dan juga , di mana memiliki kolom kiri dari dan di kanan $x=(x_0,x_1)$ $x_0$ $n/2$ $x$ $x_1$ $n/2$ $A=(A_0,A_1)$ $A_0$ $n/2$ $A$ $A_1$ kolom. Sekarang dapat ditulis ulang dalam bentuk $n/2$ $Ax \le b$

A_{0} x_{0} + A_{1} x_{1} \leq b,

$A_0 x_0 + A_1 x_1 \le b,$

atau yang setara,

A_{0} x_{0} \leq b - A_{1} x_{1} .

$A_0 x_0 \le b - A_1 x_1.$

Hitung semua kemungkinan untuk , dan biarkan menyatakan himpunan nilai yang mungkin, yaitu, $2^{n/2}$ $A_0 x_0$ $S$

S = {A_{0} x_{0} : x_{0} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$S=\{A_0 x_0 : x_0 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

$T$ $2^{n/2}$ $b - A_1 x_1$

T = {b - A_{1} x_{1} : x_{1} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$T = \{b - A_1 x_1 : x_1 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

Sekarang masalahnya menjadi

$S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$ $2^{n/2}$ $s\in S$ $t \in T$ $s\le t$

$\le$ $s_i \le t_i$ $i$

$O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$ $m$ $n/\lg n$ $2^n$

$m=1$ $m=1$ $x_i=1$ $A_{1,i}\le 0$ $x_i=0$ $x$

— DW
sumber

1

Algoritma dari jawaban saya juga mengurangi masalah vektor yang dijelaskan dalam jawaban Anda menggunakan metode yang sama, yaitu membagi variabel dan daftar semua tugas mereka.

— Stefan Schneider

2

2^{O (m)}

$2^{O(m)}$