maksimalkan MST (G [S]) di atas semua subgraf yang diinduksi G [S] dalam grafik metrik

Apakah masalah ini sudah dipelajari sebelumnya?

Diberikan grafik tak berarah metrik G (panjang tepi memenuhi ketidaksamaan segitiga), temukan seperangkat S simpul sedemikian rupa sehingga MST (G [S]) dimaksimalkan, di mana MST (G [S]) adalah pohon rentang minimum dari subgraf yang diinduksi oleh S. Apakah masalah ini sudah dipelajari sebelumnya? Apakah ini NP-hard? Terima kasih banyak.

— jian
sumber

Apakah ada penggunaan langsung dari subgraph ini dalam teori atau praktik?

— Saeed

Jika Anda menghapus kondisi metrik, apakah mudah untuk membuktikan bahwa masalahnya adalah NP-hard?

— Igor Shinkar

Mengambil untuk mengandung semua simpul memberikan approximation.

S

$S$

0.5

$0.5$

— Neal Young

Ini NP-lengkap dengan pengurangan dari penutup simpul.

Biarkan menjadi grafik yang sulit ditemukan oleh penutup vertex optimal. Membuat grafik baru dengan dua kali lebih banyak simpul, dengan melampirkan gelar-satu titik baru untuk setiap vertex dari . Ubah menjadi ruang metrik dengan membuat jarak antara simpul yang berdekatan sama dengan dan jarak antara simpul yang tidak berdekatan sama dengan . Untuk ruang metrik ini, berat pohon rentang minimum dari subgraf yang diinduksi sama dengan jumlah simpul ditambah jumlah komponen yang terhubung dari subgraf minus satu. $G$ $H$ $G$ $H$ $1$ $2$

Kita dapat mengasumsikan bahwa subgraph dengan MST terberat mencakup semua simpul derajat-satu, karena menambahkan salah satu simpul ini ke subset tidak pernah dapat mengurangi jumlah komponen. Jadi simpul yang dihapus untuk membentuk Graf adalah subset dari . Kita dapat mengasumsikan juga bahwa simpul yang dihapus membentuk penutup vertex dari . Sebab, jika beberapa subgraf terinduksi lainnya dibentuk dengan menghapus simpul yang tidak membentuk penutup simpul, dan adalah tepi yang tidak tertutup, maka menghapus mengarah ke subgraf yang diinduksi yang setidaknya sama baiknya: ia memiliki satu simpul kurang tetapi satu lagi komponen yang terhubung, dibuat oleh derajat-satu simpul yang melekat pada . $G$ $G$ $uv$ $v$ $H$ $v$

Jadi subgraph optimal dibentuk dengan menghapus penutup simpul dari . Subgraph seperti itu akan memiliki komponen persis (satu untuk setiap derajat-satu simpul ditambahkan ke , baik dengan sendirinya atau terhubung ke simpul ), dan sejumlah simpul sama dengan manadan adalah ukuran sampulnya. Dengan demikian, berat MST-nya adalah . Untuk memaksimalkan ini, kita harus meminimalkan . $H$ $G$ $n$ $H$ $G$ $2n-k$ $n=|V(G)|$ $k$ $3n-k+1$ $k$

— David Eppstein
sumber