Kekerasan sebuah subcase dari Set Cover


10

Seberapa sulit masalah Set Cover jika jumlah elemen dibatasi oleh beberapa fungsi (misalnya, logn ) di mana n adalah ukuran instance masalah. Secara formal,

Misalkan U={e1,,em} dan F={S1,,Sn} mana SiU dan m=O(logn) . Seberapa sulit untuk memutuskan masalah berikut ini

SET-COVER'={<U,F,k>: there exists at most k subsets  Si1,,SikF that cover U}.

Bagaimana jika ?m=O(n)

Hasil apa pun berdasarkan dugaan terkenal (misalnya, Game Unik, ETH) adalah baik.

Sunting 1: Motivasi untuk masalah ini adalah mencari tahu kapan masalahnya menjadi semakin sulit ketika meningkat. Jelas, masalahnya ada di P jika m = O ( 1 ) dan NP-hard jika m = O ( n ) . Berapa ambang untuk kekerasan NP dari masalah?mm=O(1)m=O(n)

Sunting 2: Ada algoritma sepele untuk memutuskannya dalam waktu (yang menyebutkan semua himpunan bagian ukuran m dari F ). Oleh karena itu, masalahnya bukan NP-keras jika m = O ( log n ) karena ETH menyiratkan bahwa tidak ada algoritma dalam waktu O ( 2 n o ( 1 ) ) untuk masalah NP-hard (di mana n adalah ukuran dari Masalah NP-keras).O(nm)mFm=O(logn)O(2no(1))n


2
Terdapat algoritma yang lebih baik untuk memutuskan masalah dalam waktu (lebih tepatnya nomor Bell untuk m ): untuk setiap partisi elemen menjadi subset, uji apakah ada set input yang mencakup setiap subset. Jadi untuk m = O ( log n / log log n ) masalah dapat diselesaikan dalam waktu polinomial. Ini tidak menjawab pertanyaan Anda tentang m = O ( log n ) . mO(m)mm=O(logn/loglogn)m=O(logn)
David Eppstein

Jawaban:


11

Ketika , Anda dapat menggunakan pemrograman dinamis untuk menemukan yang optimal dalam waktu polinomial. Tabel berisi sel Boolean bernilai T , X untuk setiap { 0 , ... , k } dan X U , menunjukkan apakah ada set yang meliputi unsur-unsur di X .m=O(logn)T,X{0,,k}XUX

Ketika , misalkanmCm=O(n) , masalahnya tetap NP-keras. Diberikan instance SET-COVER, tambahkanmelemen barux1,,xmdan(2C - 1 m)2set baru, yang terdiri dari himpunan bagian non-kosong dari elemen baru, termasuk{x1,...,xm}(bilamcukup besar,(2C - 1 m)2<2m). Juga tingkatkankmCnmx1,,xm(2C1m)2{x1,,xm}m(2C1m)2<2mkdengan satu. baru , n adalah m = 2 m dan n = n + ( 2 C - 1 m ) 2( C - 1 m ) 2 .m,nm=2mn=n+(2C1m)2(C1m)2


Lebih umum, case NP-hard, dan case m = n o ( 1 ) bukan NP-hard dengan asumsi ETH, karena ada algoritma p o l y ( n , 2 m ) . m=nO(1)m=no(1)poly(n,2m)
Yuval Filmus

11

Kasus dalam waktu n O ( c ) seperti dicatat oleh Yuval, tetapi juga catatan untuk k = O ( 1 ) Anda dapat menyelesaikan masalah dalam waktu O ( n km ) (waktu polinomial) oleh pencarian lengkap. Dengan asumsi Hipotesis Waktu Eksponensial Kuat (bahwa CNF-SAT pada rumus dengan variabel N dan klausa O ( N ) membutuhkan setidaknya 2 N - o ( N )m=clognnO(c)k=O(1)O(nkm)NO(N)2No(N)waktu), dua batas waktu ini adalah "batas" dari apa yang dapat kita harapkan dalam waktu polinomial, dalam pengertian berikut.

Dalam makalah SODA'10 saya dengan Mihai Patrascu kami mempelajari masalah dasarnya isomorfik menemukan seperangkat mendominasi ukuran dalam grafik n -node sewenang-wenang , menunjukkan bahwa jika set k- dominasi dapat diselesaikan dalam waktu n k - ε untuk beberapa k 2 dan ε > 0 , maka ada algoritma waktu 2 N ( 1 - ε / 2 ) p o l y ( M ) untuk CNF-SAT pada variabel N dan Mknknkεk2ε>02N(1ε/2)poly(M)NM klausa.

Memperhatikan hubungan antara lingkungan simpul dalam satu set contoh mendominasi dan set dalam cover contoh set, dan memeriksa pengurangan, Anda akan menemukan bahwa pengurangan ini juga menunjukkan pemecahan -Mengatur Tutup dengan n set atas alam semesta dari ukuran m di n k - εf ( m ) waktu menyiratkan algoritma CNF-SAT untuk rumus CNF dengan klausa M dan variabel N yang berjalan dalam 2 N ( 1 - ε / 2 )f ( M )knmnkεf(m)MN2N(1ε/2)f(M)waktu. Untuk tujuan menyangkal Strong ETH, cukup untuk menyelesaikan CNF-SAT dalam kasus di mana . Oleh karena itu suatu algoritma untuk masalah Anda yang berjalan dalam waktu n k - ε2 m / α ( m ) untuk beberapa fungsi tidak terikat α ( m ) akan menghasilkan algoritma SAT baru yang mengejutkan.M=O(N)nkε2m/α(m)α(m)

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.